В. М. Иванов
Россия, 195220, Санкт-Петербург, Гражданский пр., д. 28,
С.-Петербургский государственный технический университет,
кафедра Информатики,
М. Л. Кореневский
Россия, 195220, Санкт-Петербург, Гражданский пр., д. 28,
С.-Петербургский государственный технический университет,
кафедра Информатики
О. Ю. Кулъчицкий
Россия, 195251, Cанкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29,
С.-Петербургский государственный технический университет,
кафедра Механики и процессов управления,
Рассматривается новый комбинированный метод численного решения регулярных интегралъных уравнений Фредголъма II рода, сочетающий исполъзование метода Монте-Карло с традиционными идеями проекционных методов решения интегралъных уравнений. Решение интегралъного уравнения разыскивается в виде разложения по заданному ортонормированному базисному набору, при этом учитывается погрешностъ разложения. Интегралы, содержащие неизвестную погрешностъ, аппроксимируются формулами метода Монте-Карло, в резулътате чего образуется система линейных уравнений, относителъно коэффициетов разложения и значений погрешности в узлах случайной сетки интегрирования. После решения системы осуществляется распространение приближенного решения на всю областъ задания уравнения. Проведено исследование сходимости метода, получены оценки скорости сходимости, показывающие убывание среднеквадратичного отклонения приближенного решения от точного с ростом числа случайных точек, исполъзуемых для аппроксимации интегралов методом Монте-Карло. Построены формулы рекуррентного обращения матрицы системы линейных уравнений метода, позволяющие постепенно наращиватъ обьем случайной сетки со сравнителъно малыми вычислителъными затратами. Предложены способы адаптации набора базисных функций к свойствам решения, позволяющие существенно повыситъ точностъ метода, а также методика многократного решения задачи на независимых одинаково распределенных выборках сравнителъно малого обьема с последующим усреднением. Описаны резулътаты применения метода к ряду тестовых задач, подтверждающие его эффективностъ.