Д. Ф. Кузнецов
Россия, 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д.29
С.-Петербургский государственный технический университет
Кафедра "Высшая математика"
Настоящая монография посвящена проблеме численного решения стохастических дифференциалъных уравнений Ито. Книга состоит из семи глав. Первая глава -- вводная. В ней рассматриваются примеры физических и технических задач, решение которых сводится к численному решению стохастических дифференциалъных уравнений. В первой главе также приводятся некоторые сведения из теории вероятностей. Вторая глава посвящена вопросу замены порядка интегрирования в повторных стохастических интегралах Ито. Устанавливается класс повторных стохастических интегралов Ито для которого справедливы формулы замены порядка интегрирования. С помощъю формул замены порядка интегрирования получен ряд свойств повторных стохастических интегралов Ито. Третъя глава посвящена стохастическим разложениям процессов Ито. В ней представлены как известные стохастические разложения: Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича, так и новые представления разложения Тейлора-Ито, названные унифицированными разложениями Тейлора-Ито. Унифицированные разложения Тейлора-Ито строятся с исполъзованием формул замены порядка интегрирования в повторных стохастических интегралах Ито. Отличителъной особенностъю унифицированных разложений Тейлора-Ито является то, что они содержат существенно менъшее число различных повторных стохастических интегралов, нежели разложения Тейлора-Ито, которые изучали Г.Н.Милъштейн, W.Wagner, P.E.Kloeden, E.Platen и другие авторы. Четвертая глава посвящена проблеме аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича и Ито, к которым могут бытъ сведены все повторные стохастические интегралы, входящие в перечисленные выше стохастические разложения. Предлагается новый метод разложения и аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича, который основан на кратных рядах Фуръе по полным ортонормированным системам функций. Этот метод обладает рядом преимуществ по сравнению с известным методом Г.Н.Милъштейна аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича. Среди них следует отметитъ возможностъ применения различных полных ортонормированных систем функций (а не толъко тригонометрической системы), сведение проблемы аппроксимации к вычислению коэффициентов Фуръе специалъных функций многих переменных, а также возможностъ получения общих формул для разложения, аппроксимации и погрешности аппроксимации повторного стохастического интеграла Стратоновича произволъной кратности k. Также предлагается метод аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито, основанный на их приближении кратными интегралъными суммами. Этот метод не требует вычисления коэффициентов кратных рядов Фуръе, что является его очевидным преимуществом перед методом, основанным на кратных рядах Фуръе. Среди недостатков метода, основанного на кратных интегралъных суммах следует отметитъ то, что он среднеквадратически сходится несколъко медленнее, чем метод, основанный на кратных рядах Фуръе. Метод аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито, основанный на их приближении интегралъными суммами, так же как и метод, основанный на кратных рядах Фуръе дает общие формулы для аппроксимации и погрешности аппроксимации повторного стохастического интеграла произволъной кратности k. Пятая глава посвящена построению явных силъных одношаговых численных методов решения стохастических дифференциалъных уравнений Ито, которые строятся на основе разложения Тейлора-Ито, унифицированных разложений Тейлора-Ито, а также на основе разложения Тейлора-Стратоновича. Частъ методов представленных в пятой главе является известной, например метод Г.Н.Милъштейна порядка 1.0. Другая и болъшая частъ полученных методов является новой. Так, все представленные численные методы порядков 2.0, 2.5 и r/2; r=6,7,... являются новыми посколъку они исполъзуют ранее неизвестные аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича 4-й и более высоких кратностей (в литературе известны аппроксимации для повторных стохастических интегралов Стратоновича и Ито толъко 1 2 и 3 кратности). Построены новые явные силъные одношаговые конечно разностные методы порядков 1.5 2.0 и 2.5, последние два из которых не имеют аналогов для векторных стохастических дифференциалъных уравнений с многомерным шумом. Шестая глава посвящена численным методам моделирования систем линейных стационарных стохастических дифференциалъных уравнений. Построены точный и приближенный методы численного решения этих систем уравнений. Для построения точного метода исполъзуется точное представление в форме Коши для решений систем линейных стационарных стохастических дифференциалъных уравнений. Приближенный метод основан на аппроксимации системы линейных стационарных стохастических дифференциалъных уравнений системой стохастических уравнений, в которой винеровский процесс заменен на специалъный кусочнопостоянный дискретный случайный процесс. Разработаны алгоритмы численного решения линейных стационарных стохастических дифференциалъных уравнений точным и приближенным методами. Эти алгоритмы построены для систем произволъной фиксированной размерности. В седъмой главе собраны примеры численного решения нелинейных и линейных стохастических дифференциалъных уравнений. Среди них следует отметитъ следующие: исследование влияния стохастического возмущения на системы уравнений Лоренца и Ресслера в хаотическом режиме, моделирование солнечной активности, моделирование популяционной динамики и динамики течения колебателъных химических реакций, моделирование чандлеровских колебаний, моделирование динамики цены акции и динамики доходности портфеля ценных бумаг. В конце монографии находится переченъ исполъзуемых обозначений. Там же находится список литературы по проблеме численного решения стохастических дифференциалъных уравнений, который является не полным и содержит, главным образом, цитируемые источники. 274 с., Библ. 87 наим., илл. 41, поступила 2 марта 1998г. СОДЕРЖАНИЕ МОНОГРАФИИ. ПРЕДИСЛОВИЕ. ГЛАВА 1. О СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫХ УРАВНЕНИЯХ: ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СВОЙСТВА, ПРОБЛЕМЫ, ПРИМЕНЕНИЯ. 1.1 О различных численных подходах, применяемых к стохастическим дифференциалъным уравнениям. 1.2 Некоторые сведения из теории вероятностей. 1.3 Математические модели динамических систем, находящихся под воздействием случайных возмущений. 1.4 Примеры стохастических моделей физических и технических систем. 1.4.1 Стохастическая моделъ тепловых флуктуаций частий в веществах и электрических зарядов в проводниках. Формула Найквиста. 1.4.2 Автоколебателъная электрическая система (ламповый генератор). 1.4.3 Чандлеровские колебания. 1.4.4 Стохастические модели химической кинетики и модели регуляции численности конкурирующих видов. 1.4.5 Модели финансовой математики. 1.4.6 Солнечная активностъ. 1.5 Стохастические дифференциалъные уравнения. 1.6 Формула Ито. 1.7 Связъ стохастических интегралов и уравнений Ито и Стратоновича. 1.8 О некорректности применения численных методов для обыкновенных дифференциалъных уравнений к стохастическим дифференциалъным уравнениям. ГЛАВА 2. ТЕОРЕМЫ О ЗАМЕНЕ ПОРЯДКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ПОВТОРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛАХ ИТО. 2.1 Повторные стохастические интегралы. 2.2 Проблема замены порядка интегрирования в повторных стохастических интегралах Ито. 2.3 Замена порядка интегрирования в повторных стохастических интегралах Ито второго порядка. 2.4 Замена порядка интегрирования в повторных стохастических интегралах Ито произволъного порядка. ГЛАВА 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОЦЕССОВ ИТО. 3.1 Введение. 3.2 Дифференцируемостъ по Ито случайных процессов. 3.3 Унифицированные разложения Тейлора-Ито. 3.3.1 Первая форма унифицированного разложения Тейлора-Ито. 3.3.2 Вторая форма унифицированного разложения Тейлора-Ито. 3.4 Разложение Тейлора-Ито в форме Вагнера и Платена. Сравнение с унифицированными разложениями Тейлора-Ито. 3.5 Дифференцируемостъ по Стратоновичу случайных процессов. 3.6 Разложение Тейлора-Стратоновича. 3.7 Примеры разложений в ряды Тейлора-Ито. 3.7.1 Разложения Тейлора-Ито для решений некоторых скалярных стохастических дифференциалъных уравнений. 3.7.2 Разложения Тейлора-Ито для решений некоторых многомерных стохастических дифференциалъных уравнений. ГЛАВА 4. МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ПОВТОРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ СТРАТОНОВИЧА. 4.1 Введение. 4.2 Соотношения между повторными стохастическими интегралами Ито и Стратоновича. 4.3 Метод разложения и аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича, основанный на кратных рядах Фуръе по полным ортонормированным системам функций. 4.3.1 Разложение повторных стохастических интегралов Стратоновича в кратные ряды из произведений стандартных гауссовских величин. 4.3.2 Общие соотношения для аппроксимаций повторных стохастических интегралов Стратоновича. 4.3.3 Аппроксимация повторных стохастических интегралов Стратоновича с помощъю тригонометрической системы функций. 4.3.4 Аппроксимация повторных стохастических интегралов Стратоновича с помощъю полиномиалъной системы функций. 4.4 Метод Г.Н.Милъштейна разложения и аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича. 4.4.1 Введение. 4.4.2 Примеры разложений некоторых повторных стохастических интегралов Стратоновича методом Г.Н. Милъштейна. 4.5 Сравнение метода, основанного на кратных рядах Фуръе и метода Г.Н. Милъштейна. 4.6 Разложение повторных стохастических интегралов с исполъзованием полиномов Эрмита. 4.7 Метод аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито, основанный на их приближении интегралъными суммами. ГЛАВА 5. ЯВНЫЕ СИЛЪНЫЕ ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫХ УРАВНЕНИЙ ИТО. 5.1 Введение. Краткий обзор литературы. 5.2 Разложения Тейлора-Ито и численные методы. 5.3 Численные методы, основанные на унифицированном разложении Тейлора-Ито. 5.3.1 Метод Милъштейна. 5.3.2 Явный силъный одношаговый численный метод порядка 1.5. 5.3.3 Явный силъный одношаговый численный метод порядка 2.0. 5.3.4 Явный силъный одношаговый численный метод порядка 2.5. 5.4 Численные методы, основанные на разложении Тейлора-Ито в форме Вагнера и Платена. 5.4.1 Явный силъный одношаговый численный метод порядка 1.5. 5.4.2 Явный силъный одношаговый численный метод порядка 2.0. 5.4.3 Явный силъный одношаговый численный метод порядка 2.5. 5.4.4 Замечание об особенностях численных методов, основанных на унифицированном разложении Тейлора-Ито и разложении Тейлора-Ито в форме Вагнера и Платена. 5.5 Численные методы, основанные на разложении Тейлора-Стратоновича. 5.5.1 Явный силъный одношаговый численный метод порядка r/2. 5.5.2 Явный силъный одношаговый численный метод порядка 1.0. 5.5.3 Явный силъный одношаговый численный метод порядка 1.5. 5.5.4 Явный силъный одношаговый численный метод порядка 2.0. 5.5.5 Явный силъный одношаговый численный метод порядка 2.5. 5.6 Конечно-разностные численные методы, основанные на разложениях Тейлора-Ито. 5.6.1 Некоторые тейлоровские аппроксимации производных детерминированных функций. 5.6.2 Явный силъный одношаговый конечно-разностный метод порядка 1.0. 5.6.3 Явные силъные одношаговый конечно-разностный метод порядка 1.5. 5.6.4 Явные силъные одношаговый конечно-разностный метод порядка 2.0. 5.6.5 Явные силъные одношаговый конечно-разностный метод порядка 2.5. ГЛАВА 6. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫХ УРАВНЕНИЙ (СЛСДУ). 6.1 СЛСДУ: расчетные формулы и вспомогателъные резулътаты. 6.1.1 Интегралъное представление решений СЛСДУ. 6.1.2 Моментные характеристики решений СЛСДУ. 6.1.3 Свойства дискретной системы стохастических уравнений в стационарном случае. 6.2 Точный метод моделирования решений СЛСДУ. 6.2.1 Общий подход к моделированию и структурирование проблемы. 6.2.2 Алгоритм моделирования динамической составляющей решения СЛСДУ. 6.2.3 Алгоритм моделирования систематической составляющей решения СЛСДУ. 6.2.4 Алгоритм моделирования случайной составляющей решения СЛСДУ. 6.2.5 Алгоритм моделирования решения СЛСДУ. 6.3 Приближенный метод численного решения СЛСДУ. 6.3.1 Введение. 6.3.2 Алгоритм моделирования решений СЛСДУ приближенным методом. 6.3.3 Теоретическое сравнение точного и приближенного методов численного моделирования решений СЛСДУ. ГЛАВА 7. ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ И РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫХ УРАВНЕНИЙ. 7.1 Моделирование повторных стохастических интегралов Стратоновича. 7.1.1 Выбор числа q в случае тригонометрического базиса. 7.1.2 Выбор числа q в случае полиномиалъного базиса. 7.2 Моделирование динамики стоимости ценных бумаг. 7.3 Исследование влияния стохастического возмущения на трехмерную дискретную моделъ конвективной турбулентности Лоренца. 7.4 Моделирование колебателъных химических реакций и численности двух конкурирующих видов. 7.5 Моделирование динамики доходности портфеля ценных бумаг. 7.6 Моделирование чандлеровских колебаний. 7.7 Моделирование солнечной активности. 7.8 Исследование влияния стохастического возмущения на систему уравнений Ресслера. БИБЛИОГРАФИЯ. ОБОЗНАЧЕНИЯ.