Глобальные бифуркации предельных циклов
Автор(ы):
В. А. Гайко
Белорусский государственный университет
информатики и радиоэлектроники
Беларусь, 220090 Минск, ул. Кольцова, 49–305
vlrgk@cit.org.by
Аннотация:
Рассматриваются 2-мерные полиномиальные динамические системы. Главная проблема
качественного исследования таких систем – это 16-я проблема Гильберта о
максимальном количестве и взаимном расположении предельных циклов. Известны три
основные бифуркации предельных циклов:
бифуркация Андронова-Хопфа (из особой точки типа центр или фокус);
бифуркация сепаратрисного цикла (из гомоклинической или гетероклинической
замкнутой траектории);
бифуркация кратного предельного цикла.
Все эти бифуркации носят локальный характер: мы рассматриваем только
некоторую достаточно малую окрестность особой точки, сепаратрисного или кратного
предельного цикла, находясь в соответствующей достаточно малой окрестности
пространства параметров системы. К сожалению, изучение каждой из этих бифуркаций
в отдельности не дает полного решения проблемы даже в простейшем
(квадратичном) случае нелинейных полиномиальных систем. Поэтому мы связываем
воедино все локальные бифуркации предельных циклов, развиваем глобальную теорию
бифуркаций полиномиальных динамических систем и на примере квадратичных систем
предлагаем новый подход к решению 16-й проблемы Гильберта.
Во-первых, мы приводим некоторые предварительные результаты.
Используя идеи Н.П.Еругина о качественном исследовании в целом
и его метод двух изоклин, мы строим канонические системы с
параметрами, поворачивающими векторное поле, и даем геометрическую
интерпретацию всех четырех случаев центра для квадратичных систем.
Опираясь на системы с "центром" и применяя параметры,
поворачивающие поле, мы проводим классификацию сепаратрисных
циклов с соответствующим разбиением пространства параметров и
контролируем бифуркации кратных предельных циклов. Затем,
используя принцип окончания Винтнера-Перко, приводим
схематическое доказательсто следующей гипотезы:
Гипотеза. Не существует квадратичной системы, имеющей в
своем пространстве параметров бифуркационной поверхности
четырехкратных предельных циклов типа "ласточкин хвост". Другими
словами, никакая квадратичная система не может иметь ни
четырехкратного предельного цикла, ни четырех предельных циклов
вокруг одной особой точки (фокуса) и максимальная кратность,
и максимальное число предельных циклов, окружающих фокус, равно
трем.
Доказательство проводится от противного. Предположим, что наша
каноническая система, содержащая три параметра,
поворачивающих поле, имеет четыре предельных цикла
вокруг начала координат. Тогда мы попадаем в некоторую область
пространства этих параметров, будучи ограниченными определенными
условиями на два других параметра, которые соответствуют различным
случаям особых точек в конечной части фазовой плоскости. Эта
трехпараметрическая область четырех предельных циклов ограничена
тремя поверхностями типа "складка", образующими
бифуркационную поверхность четырех предельных циклов
типа "ласточкин хвост". Можно показать, что соответствующее
максимальное однопараметрическое семейство четырехкратных
предельных циклов не может быть циклическим и оканчивается либо в
начале координат, либо на каком-то сепаратрисном цикле. Так как мы
знаем абсолютно точно по крайней мере цикличность особой
точки (результат Н.Н.Баутина), которая равна трем, мы получаем
противоречие с принципом окончания, утверждающим, что кратность
предельных циклов не может быть выше, чем кратность (цикличность)
особой точки, в которой они оканчиваются. Это противоречие и
завершает доказательство. А так как мы знаем конкретные свойства
всех параметров, поворачивающих поле, и, кроме того, мы в
состоянии одновременно контролировать бифуркации предельных циклов
вокруг различных особых точек, мы вправе предположить, что
максимальное количество предельных циклов в квадратичной системе
равно четырем и единственно возможное их расположение – (3:1).
