Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

Метод кусочно-линейной аппроксимации для решения задач оптимального управления

Автор(ы):

В. И. БОЛДЫРЕВ

Россия, 630090, Новосибирск, пр. ак. Коптюга, 4,
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН,
Кибернетика,

vibold@math.nsc.ru

Аннотация:

Данная работа является системным изложением работ автора по численному решению задач оптимального управления, опубликованых за последние годы. Основу работы составляет метод кусочно-линейной аппроксимации (симплексный метод) специального отображения, возникающего при применении необходимых условий оптимальности управления --- принципа максимума Л.С.Понтрягина. Для линейных систем управления он заключается в следующем. Пусть требуется минимизировать псевдовыпуклый функционал, определенный на множестве конечных состояний системы управления. В силу принципа максимума Понтрягина устанавливается "экстремальное" соответствие между краевым условием сопряженной системы и крайними точками множества достижимости системы управления. Пусть имеется n+1-крайняя точка множества достижимости. Тогда такое специальное отображение линейно интерполируется на выпуклой оболочке этих крайних точек (на симплексе). При работе симплексного метода генерируется последовательность симплексов, причем на каждом симплексе находится локальный относительно симплекса минимизатор функции конечных состояний. Симплексный метод вырабатывает строго убывающую последовательность значений функционала. Для нелинейных систем управления основу симплексного алгоритма составляет кусочно-линейная аппроксимация функции на триангуляции, использование которой расширяет возможности алгоритма для нахождения решения краевых задач.
Работа состоит из трех разделов и введения.
В разделе 1 для задачи нелинейного программирования --- задачи минимизации псевдовыпуклой функции на выпуклом компактном множестве --- описывается симплексный алгоритм (точный) для нахождения решения (алгоритм 1.1). Алгоритм 1.1 генерирует последовательность симплексов, на каждом из которых в качестве вспомогательной задачи находится минимум (точный) целевой функции с помощью алгоритма 1.2. Описываются два варианта приближенного симплексного алгоритма (алгоритм 1.3), в котором отыскание локального минимума заменяется определением достаточно грубого его приближения. Приводится доказательство сходимости симплексного алгоритма. Для задачи минимизации псевдовыпуклого функционала, определенного на множестве конечных состояний линейной системы управления, описывается алгоритм для нахождения оптимального управления в виде выпуклой комбинации экстремальных управлений вспомогательных линейных задачах Майера.
В разделе 2 для линейной системы управления с линейными терминальными ограничениями решается задача минимизации выпуклого функционала на множестве конечных состояний. Для эффективного решения вспомогательных экстремальных задач, получаемых в результате применения метода модифицированной функции Лагранжа и метода параметризации целевой функции, используется симплексный алгоритм. Дается способ построения практически "реализуемых" управлений, с помощью которых линейная система переводится из любой начальной точки в некоторую конечную точку при дополнительных ограничениях и без них. Эти управления формируются в виде линейных комбинаций управлений, вычисляемых до начала процесса управления.
В разделе 3 для решения краевых нелинейных задач, возникающих в результате применения принципа максимума Л.С.Понтрягина, описывается алгоритм, являющийся комбинацией метода неподвижной точки и квазиньютоновского метода. Использование кусочно-линейной аппроксимации функции на триангуляциях позволяет расширить область применимости алгоритма для нахождения решения краевых задач.
В каждом разделе приведены результаты счета, оформленные в виде таблиц.

Полный текст (pdf)