English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Прямые изоклины автономных кубических дифференциальных систем на плоскости и смежные вопросы

Автор(ы):

Вячеслав Бесланович Тлячев

Адыгейский государственный университет
Инженерно-физический факультет
Россия, 385000,
г. Майкоп, ул. Первомайская, дом 208

stvb2006@rambler.ru

Адам Дамирович Ушхо

Адыгейский государственный университет
Инженерно-физический факультет
Россия, 385000,
г. Майкоп, ул. Первомайская, дом 208

uschho76@rambler.ru

Дамир Салихович Ушхо

Адыгейский государственный университет
Факультет математики и компьютерных наук
Россия, 385000,
г. Майкоп, ул. Первомайская, дом 208

damirubych@mail.ru

Аннотация:

В данной работе изучаются вопросы, связанные с прямыми изоклинами автономной дифференциальной системы, правая часть которой представляет собой полином третьей степени. Для этой системы, имеющей максимальное число параллельных между собой прямых изоклин, дана оценка сверху общего числа прямых изоклин. Кроме этого дана оценка сверху числа инвариантных прямых кубической системы, имеющей хотя бы одно состояние равновесия и пять параллельных между собой прямых изоклин. Рассмотрены достаточные условия отсутствия предельных циклов у системы, имеющей три инвариантные прямые и максимальное число параллельных между собой прямых изоклин.

Ссылки:

  1. Shamolin M. V. Metody analiza dinamicheskih sistem s peremennoj dissipaciej v dinamike tverdogo tela [Methods of analysis of dynamical systems with variable dissipation in rigid body dynamics]. Moscow, Examen Publ., 2007. 349 p
  2. Wilson H. R. Spikes, decisions and actions. The dynamical foundations of neuroscience. New York: Oxford University Press, 2005. 307 p
  3. Ilyashenko Yu. Centennial History of Hilbert's 16th Problem. Bull. Amer. Math. Soc., 2002; (39):301-354
  4. Gaiko V. A. Global Bifurcation Theory and Hilbert’s Sixteenth Problem. Series: Mathematics and its applications. Vol. 559. Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 2003. 182 p
  5. Andreev A. F. Osobye tochki differentsial'nykh uravnenii [Singular Points of Differential Equations]. Minsk: Vysheishaya Shkola Publ., 1979. 136 p
  6. Andreev A. F. Vvedenie v lokal’nuyu kachestennuyu teoriyu differentsial’nykh uravnenii [Introduction to the Local Qualitative Theory of Differential Equations]. St. Petersburg, St. Univ. Publ., 2001. 160 p
  7. Ushho A. D. [Infinitely Remote Singular Points of Cubic System in a Special Case]. Differencial’nie uravnenia i processy upravlenia, 2011, no. 1 (In Russ. ) Available at: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/ushho.pdf
  8. Ushho A. D. [Trajectories cubic differential system on a plane with invariant straight lines of six various directions]. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija: Fizika. Matematika, 2012; (2):224-231. (In Russ. )
  9. Nemyckij V. V. [Some modern problems in the qualitative theory of ordinary differential equations]. UMN, 1965; 20:4(124):3-36. (In Russ. )
  10. Gaiko V. A. Limit Cycle Bifurcations in a Quadratic System with Two Parallel Straight Line – Isoclines. Reports 08-06 of the Department of Applied Mathematical Analysis Delft: Delft University of Technology, 2008. 13 p
  11. Gaiko V. A. On an application of two isoclines method to investigation of two dimensional dynamical systems. Advanc. Synerg. 1994. Vol. 2. P. 104-109
  12. Berlinskij A. N. Nekotorye voprosy kachestvennogo issledovanija differencial'nogo uravnenija dy/dx = P(x, y)/Q(x, y), gde P i Q – mnogochleny ne vyshe vtoroj stepeni. Kand. Diss. [Some questions of the qualitative investigation of the differential equation dy/dx = P(x, y)/Q(x, y), where P and Q are polynomials not higher than of the second degree. Cand. Diss. ], Tashkent, 1959, 115 p
  13. Berlinskij A. N. [On the behavior of the integral curves of a differential equation]. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 1960; (2)15:3-18. (In Russ. )
  14. Shahova L. V. [On straight lines isoclines]. Trudy Samarkandskogo gosudarstvennogo universiteta im. Alishera Navoi [Proc. of the Samarkand State University], 1964, no. 144, pp. 93-105. (In Russian)
  15. Cheresiz V. M. [On the isoclines of polynomial vector fields]. Sibirskij matematicheskij zhurnal, 1994; 35(6):1390-1396. (In Russ. )
  16. Sokulski J. On the number of invariant lines for polynomial vector fields. Nonlinearity. 1996. No. 9. P. 479-485
  17. Zhang Xiang, Ye Yanqian. On the Number of Invariant Lines for Polynomial Systems. Proceedings of the American Mathematical Society. 1998. Vol. 126. No. 8. P. 2249-2265
  18. Artes J. C., Grunbaum B., Llibre J. On the number of invariant straight lines for polynomial differential systems. Pacific Journal of Mathematics. 1998. Vol. 184. No. 2. P. 207-230
  19. Schlomiuk D., Vulpe N. Planar quadratic vector fields with invariant lines of total multiplicity at least five. Qualitative Theory of Dynamical Systems. 2004. Vol. 5. Issue 1. P. 135-194
  20. Schlomiuk D., Vulpe N. Planar quadratic differential systems with invariant straight lines of total multiplicity four. Nonlinear Analysis-theory Methods & Applications. 2008. Vol. 68. №. 4. P. 681-715
  21. Ushho A. D. Polinomial'nye differencial'nye sistemy na ploskosti: prjamolinejnye izokliny, osi simmetrii, osobye tochki na jekvatore sfery Puankare. Kand. Diss. [The polynomial differential systems on the plane: straight line isoclines, the axis of symmetry, the singular points on the Poincare sphere equator. Kand. Diss. ], Voronezh, 2011, 8 p
  22. Ushho A. D. [The parallel lines isoclines of a polynomial differential systems on the plane]. Vestnik AGU. Serija “Estestvenno-matematicheskie i tehnicheskie nauki”, 2011; 3(86):9-13. (In Russ. )
  23. Ushho A. D. [The parallel lines isoclines of a cubic differential systems on the plane]. Vestnik AGU. Serija “Estestvenno-matematicheskie i tehnicheskie nauki”, 2009; 2(49):16-25. (In Russ. )
  24. Ushho D. S. Prjamye izokliny i kanonicheskie formy polinomial'nyh differencial'nyh sistem na ploskosti [The straight lines isoclines and canonical forms of the polynomial differential systems on the plane]. Majkop: AGU Publ., 2007. 93 p
  25. Tljachev V. B., Ushho A. D., Ushho D. S. [On straight-line-isoclines of the polynomial differential systems on the plane]. Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N. I. Lobachevskogo, 2010; (1):156-162. (In Russ. )
  26. Stoljarov V. V. [Limit cycles and limitations of a dynamical system]. Differencial'nye uravnenija, 1971; (10):1823-1824. (In Russ. )
  27. Andronov A. A., Leontovich E. A., Gordon I. I., Majer A. G. Teorija bifurkacij dinamicheskih sistem na ploskosti [The theory of bifurcation of dynamical systems on a plane]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 488 p
  28. Bautin N. N., Leontovich E. A. Metody i priemy kachestvennogo issledovanija dinamicheskih sistem na ploskosti [The methods and techniques of qualitative study of the dynamical systems on the plane]. Moscow, Nauka Publ., 1976. 496 p
  29. Ushho D. S., Ushho A. D. [About existing of limiting cycles and line particular integrals of cubic differential systems on plane]. Trudy FOR A, 2004; (9):20-24. (In Russ. )

Полный текст (pdf)