Василий Иванович Качалов
ФГБОУ ВО «НИУ «МЭИ»
(Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Национальный исследовательский университет «МЭИ»),
доцент кафедры высшей математики,
кандидат физ-мат. наук, доцент,
зав.кафедрой высшей математики
Юрий Сергеевич Федоров
ФГБОУ ВО «НИУ «МЭИ»
(Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Национальный исследовательский университет «МЭИ»),
доцент кафедры высшей математики
Метод голоморфной регуляризации, являющийся логическим продолжением метода регуляризации С.А.\,Ломова, применяется для построения псевдоголоморфных решений слабо нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений, т.е. таких решений, которые представимы в виде сходящихся в обычном смысле (не асимптотически) рядов по степеням малого параметра. Доказано существование первых интегралов у сингулярно возмущенных систем голоморфных по малому параметру и, тем самым, обобщена теорема Пуанкаре о разложении. Из этого и теоремы о неявной функции, при условии устойчивости по Лагранжу решений системы уравнений характеристик, вытекает существование псевдоголоморфных в глобальном смысле решений слабо нелинейных сингулярно возмущенных систем. Следует особо отметить, что регуляризирующие функции, отвечающие за описание пограничного слоя, также как и в методе Ломова определяются спектром предельного оператора. При указанном подходе любая наперёд заданная степень точности аппроксимации обеспечивается при фиксированном значении малого параметра, а не при стремлении последнего к нулю, как это происходит в классических асимптотических методах. Это является весьма важным при решении прикладных сингулярно возмущенных задач, возникающих в различных областях науки. Метод голоморфной регуляризации, наряду с методом нормальных форм В.Ф. Сафонова, специально разрабатывался для решения именно нелинейных сингулярно возмущенных уравнений и систем, чтобы заложить основу аналитической теории сингулярных возмущений. В дальнейшем, указанный в работе подход, будет распространён на другие типы нелинейных задач, в том числе на уравнения в банаховом пространстве.