English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Решение одного сингулярного интегрального уравнения Фредгольма с возмущенным оператором на основе интервальных методов

Автор(ы):

Александр Анатольевич Рогоза

Калужский филиал Московского государственного технического
университета им. Н.Э. Баумана
г. Калуга, ул. Баженова, д.2.

aemaeth_eternity@mail.ru

Аннотация:

В настоящей статье рассмотрены некоторые проекционные методы решения одного класса сингулярных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, (в том числе в условиях возмущенного интегрального оператора), возникающих в задачах робастного управления. Проведено исследование свойств этих методов и разработаны алгоритмы их численной реализации. Для случаев различных классов гладкостей функции в правой части сингулярного интегрального уравнения получены оценки погрешности рассмотренных методов в нормах пространств Лебега и непрерывных функций. Оценки получены как для произвольной неравномерной сетки, так и для уравнений, в том числе с недифференцируемыми ядрами. Приближенная модель исходной задачи представляет собой систему интервальных алгебраических уравнений. Доказаны существование и единственность решения этой системы в рамках стандартных допущений интервального анализа. Разработан эффективный алгоритм численной реализации рассматриваемых проекционных методов, ориентированный в первую очередь на применение ЭВМ. Предложенный метод допускает распараллеливание и достаточно просто реализуется на сетевых платформах системы Grid.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Егупов Н. Д., Пупков К. А., Рогоза А. А., Трофимов М. А. Алгоритмическая теория систем управления, основанная на спектральных методах. В двух томах. Том 2. Матрично-вычислительные технологии на базе интегральных уравнений. Под ред. Матвеева В. А. - М. : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. - 464 с
  2. Шарый С. П. О характеризации объединенного множества решений интервальной линейной алгебраической системы. - Красноярск, 1990. - 20 с. - Депонировано в ВИНИТИ, № 726-И91
  3. Kreinovich V., Lakeyev A., Rohn J., Kahi p. Computational Complexity and Feasibility of Data Processing and Interval Computations. Dordrecht: Kluwer, 1997
  4. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. Москва: Наука, 1972
  5. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. - Москва: Мир, 1971
  6. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. - Москва: Мир, 1987
  7. Oettli W. On the solution set of a linear system with inaccurate coefficients. SIAM Jornal on Numerical Analysis. 1965 Vol. 2, №1 pp. 115-118
  8. Лакеев А. В. Вычислительная сложность оценивания обобщенных множеств решений интервальных линейных систем. Труды XI международной Байкальской школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск, Байкал, 5 - 12 июля 1998 г., секция 4. Иркутск: ИСЭМ, 1998. с. 115-118
  9. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. Москва: Мир, 1982
  10. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval space IR. Computing Supplement. - 1980. - Vol. 2. - p. 33-49
  11. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. Москва: Мир, 1969
  12. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. - Москва: Мир, 1975
  13. Neumaer A. Interval methods for systems of equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1990
  14. Шарый С. П. Внешнее оценивание обобщенных множеств решений интервальных линейных систем. Вычислительные технологии. 1999. Т. 4, №4. - с. 82 - 110
  15. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М. : Физматлит, 1960. - 656 с
  16. Rutily B., Chevallier L. Why is so difficult to solve the radiative transfer equation? EAS Publications Series, 2006. Vol. 18, pp. 1-23
  17. Ahues M., Largillier A., Titaud O. The roles of a week singularity and the grid uniformity in relative error bounds . Numer. Funct. Anal. and Optimiz. 2001. Vol. 22, 7-8, pp. 789-814
  18. Ahues M., d’Almeida F. D., Largillier A., Titaud O., Vasconcelos P. An L 1 refined projection approximate solution of the radiation transfer equation in stellar atmospheres. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2002, Vol. 140, 1-2, pp. 13-26
  19. Panasenko G., Rutily B. Titaud O. Asymptotic analysis of integral equations for a great interval and its application to stellar radiative transfer. C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. Mecanique. 2002, Vol. 330, pp. 735-740
  20. Amosov A., Panasenko G., Rutily B. An approximate solution to the integral radiative transfer equation in an optically thick slab. C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. Mecanique. 2003. Vol. 331, pp. 823-828
  21. Rutily B. Multiple scattering theory and integral equations. Integral Methods in Science and Engineering (C. Constanda, M. Ahues, and A. Largillier, eds. ). Birkhauser, Boston, pp. 211-232, 2004
  22. Rutily B., Chevallier L. The nite Laplace transform for solving a weakly singular integral equation occurring in transfer theory. Journal of Integral Equations and Applications. 2004, Vol. 16, 4, pp. 389 409
  23. Ahues M., Amosov A., Largillier A., Titaud O. L p error estimates for projection approximations. Applied Mathematics Letters. 2005. Vol. 18, pp. 381-386
  24. Amosov A., Panasenko G. Asymptotic analysis and asymptotic domain decomposition for an integral equation of the radiative transfer type. J. Math. Pures Appl. 2005. Vol. 84, pp. 1813-1831
  25. d’Almeida F., Titaud O., Vasconcelos P. B. A numerical study of iterative renement schemes for weakly singular integral equations. Applied Mathematics Letters. 2005, Vol. 18, 5, pp. 571 - 576
  26. Amosov A., Panasenko G. An approximate solution to the integral radiative transfer equation in an optically thick slab. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2007. Vol. 30, pp. 1593-1608
  27. Amosov A., Ahues M., Largillier A. Superconvergence of projection methods for weakly singular integral operators. Integral Methods in Science and Engineering: Techniques and Applications (Constanda C., Potapenko S. eds). Birthauser, Boston. 2008, pp. 17
  28. Amosov A., Ahues M., Largillier A. Supercovergence of some projection approximations for weakly singular integral equations using general grids. Siam Journal on Numerical Analysis, 2009, Vol. 47, Issue 1, pp. 646-674
  29. Ahues M., d’ Almeida F., Fernandes R. Piecewise constant Galerkin approximations of weakly singular integral equations. Int. J. Pure Appl. Math. 2009. Vol. 55, 4, pp. 569-580
  30. Nunes A. L., Vasconcelos P. B., Ahues M. Error Bounds for Low-Rank Approximations of the First Exponential Integral Kernel. Numerical Functional Analysis and Optimization. 2013. Vol. 34, 1, pp. 74 - 93
  31. d’Almeida F. D., Ahues M., Fernandes R. Errors and grids for projected weakly singular integral equations. Int. J. Pure Appl. Math. 2013. Vol. 89, 2, pp. 203-213
  32. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. Москва: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 416 c
  33. Канторович Л. В. Функциональный анализ и прикладная математика. УМН. 1948. Т. 3, Вып. 6 (28), С. 89 - 185
  34. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. Физматлит. М.; 1962

Полный текст (pdf)