English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. С программами в среде MATLAB

Автор(ы):

Дмитрий Феликсович Кузнецов

Санкт-Петербургский Политехнический Университет Петра Великого
Россия, 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29
кафедра "Высшая Математика"
Профессор, доктор физико-математических наук

sde_kuznetsov@inbox.ru

Аннотация:

Это шестое издание книги "Cтохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения", переработанное и дополненное. Монография посвящена проблеме численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Подробно изучен случай СДУ Ито, а также кратко рассмотрены СДУ со скачкообразной компонентой. В книге рассмотрен эффективный подход к численному интегрированию СДУ Ито, основанный на разложениях Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича. Одной из целей данной монографии является разработка и применение метода Фурье к численному решению СДУ Ито. Ряды Фурье широко используется в различных областях прикладной математики и физики. Однако, метод рядов Фурье применительно к численному решению СДУ Ито изучен явно недостаточно. Эта монография частично заполняет указанный пробел. Монография состоит из 17 глав.
В главе 1 собран вспомогательный материал, который может быть полезен при чтении книги. В главе 2 рассматриваются математические модели динамических систем различной физической природы, находящиеся под влиянием случайных возмущений на основе СДУ. В данной главе также рассмотрены некоторые задачи для СДУ.
Глава 3 посвящена некоторым свойствам и формулам для стохастических интегралов.
В главе 4 обсуждаются стохастические разложения Тейлора. Мы рассматриваем классические разложения Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича, а также 4 новых так называемых унифицированных разложения Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича. Главы 5 и 6 посвящены сильной (среднеквадратической) аппроксимации наборов повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича из разложений Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича.
В главах 7-9 конструируются сильные численные методы, а в главе 10 слабые численные методы для СДУ Ито. Глава 11 посвящена численному интегрированию линейных стационарных систем СДУ Ито. В главе 12 рассматривается теория численного интегрирования СДУ со скачкообразной компонентой. В главе 13 приведена библиотека MATLAB-программ для численного интегрирования линейных стационарных систем СДУ Ито.
В главах 14-16 путем численных экспериментов демонстрируется применение численных методов, построенных в монографии, к моделированию выборочных траекторий решений систем нелинейных СДУ Ито (глава 14) и к численному решению математических задач для СДУ Ито сильными (глава 15) и слабыми (глава 16) численными методами.
Впервые численное моделирование повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича реализовано с использованием системы полиномов Лежандра. Глава 17 содержит полные тексты MATLAB-программ, реализующих численные эксперименты по тексту книги в целом.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Аверина Т. А., Артемьев С. С. Новое семейство численных методов для решения стохастических дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР. 288: 4 (1986), 777-780
  2. Аверина Т. А., Артемьев С. С. Численное решение стохастических дифференциальных уравнений с растущей дисперсией. Сибирский журн. вычисл. матем. 8: 1 (2005), 1-10
  3. Аверина Т. А., Карачанская Е. В., Рыбаков К. А. Моделирование и анализ линейных инвариантных стохастических систем. Электронный Журнал " Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления" . 2018, no. 1, 54-76. Доступно по ссылке: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/rybakov7.pdf
  4. Арато М., Колмогоров А. Н., Синай Я. Г. Об оценках параметров комплексного стационарного гауссовского марковского процесса. Докл. АН СССР. 146: 4 (1962), 747-750
  5. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. Москва, Наука, 1974. 431 с
  6. Арсеньев Д. Г., Кульчицкий О. Ю. Оптимизация алгоритмов численного интегрирования жестких линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. ВИНИТИ, 732-B86 (1986), 32 с
  7. Артемьев С. С. Устойчивость в среднем квадратичном численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР. 333: 4 (1993), 421-424
  8. Артемьев С. С., Шкурко И. О. Численное решение линейных систем стохастических дифференциальных уравнений. Тезисы докладов VII Всесоюз. совещания " Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике" , 1985, Новосибирск, с. 144-146
  9. Артемьев С. С., Якунин М. А. Математическое и статистическое моделирование в финансах. Новосибирск, Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2008. 174 с
  10. Аталла М. А. Конечно-разностные аппроксимации для стохастических дифференциальных уравнений. Вероятностные методы исследования систем с бесконечным числом степеней свободы. Сб. научн. трудов. Киев, Институт математики АН УССР (1986), 11-16
  11. Ауслендер Э. И., Мильштейн Г. Н. Асимптотические разложения показателя Ляпунова для линейных стохастических систем с малыми шумами. Прикл. матем. и мех. 46: 3 (1982), 358-365
  12. Баркин А. И., Зеленцовский А. Л., Пакшин П. В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления. Москва, Изд-во МАИ, 1992. 303 с
  13. Бахвалов Н. С. Численные методы. Москва, Физматгиз, 1973. 631 с
  14. Белоусов Б. П. Периодически действующая реакция и ее механизм. Сб. рефератов по радиационной медицине. Москва, Медгиз, 1959, 145-148
  15. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. Москва, Наука, 1976. 286 с
  16. Гирсанов И. В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры. Теория вероятн. и ее прим. 5: 3 (1960), 314-330
  17. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев, Наукова думка, 1968. 354 с
  18. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 3. Москва, Наука, 1975. 469 с
  19. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. Москва, Наука, 1977. 660 с
  20. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев, Наукова думка, 1982. 612 с
  21. Гладышев С. А., Мильштейн Г. Н. Метод Рунге-Кутта для вычисления винеровских интегралов экспоненциального типа. Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 24 (1985), 1136-1149
  22. Дьяконов В. П. Справочник по применению системы PC MatLab. Москва, Наука, 1993. 111 с
  23. Дьяконов В. П. MATLAB 6. 5 SP1/7. 0 + Simulink 5/6. Основы применения. Москва, СОЛОН-пресс, 2005. 800 c
  24. Дзагнидзе З. А., Читашвили Р. Я. Приближенное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Труды IV. Тбил. гос. ун-т. Ин-т прикл. мат. (1975), 267-279
  25. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. Москва, Наука, 1963. 860 с
  26. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Курс статистического моделирования. Москва, Наука, 1976. 320 с
  27. Жаботинский А. М. Концентрационные автоколебания. Москва, Наука, 1974. 178 с
  28. Жижиашвили Л. В. Сопряженные функции и тригонометрические ряды. Тбилиси, Изд-во Тбил. ун-та, 1969. 271 с
  29. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть II. Москва, Наука, 1973. 448 c
  30. Ито К. Вероятностные процессы. Вып. 2. Москва, ИЛ, 1963. 135 с
  31. Камке E. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Т. 1. Москва, Наука, 1971. 576 p
  32. Козин Ф. Введение в устойчивость стохастических систем. Автоматика. 5 (1969), 95-112
  33. Кореневский М. Л. Об оптимизации одного метода приближенного вычисления матричной экспоненты. Труды междунар. конф. " Средства математического моделирования". С. -Петербург, 1998, с. 125-134
  34. Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. Москва, Наука, 1985. 640 с
  35. Кузнецов Д. Ф. Конечно-разностная аппроксимация разложения Тейлора-Ито и конечно-разностные методы численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений Ито. ВИНИТИ, 3509-В96 (1996), 24 с
  36. Кузнецов Д. Ф. Конечно-разностный метод численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений Ито с локальной среднеквадратической погрешностью третьего порядка малости. ВИНИТИ, 3510-В96 (1996), 27 с
  37. Кузнецов Д. Ф. Теоретическое обоснование метода разложения и аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича, основанного на кратных рядах Фурье по тригонометрическим и сферическим функциям. ВИНИТИ, 3608-В97 (1997), 27 с
  38. Кузнецов Д. Ф. Теоремы о замене порядка интегрирования в повторных стохастических интегралах. ВИНИТИ, 3607-В97 (1997), 31 с
  39. Кузнецов Д. Ф. Метод разложения и аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича, основанный на кратных рядах Фурье по полным ортонормированным системам функций. Электронный журнал " Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления" . 1997, no. 1, 18-77. Доступно по ссылке: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/j002.pdf
  40. Кузнецов Д. Ф. Некоторые вопросы теории численного решения стохастических дифференциальных уранений Ито. Электронный Журнал " Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления". 1998, no. 1, 66-367. DOI: 10. 18720/SPBPU/2/z17-6. Доступно по ссылке: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/j011.pdf
  41. Кузнецов Д. Ф. Аналитические формулы для вычисления стохастических интегралов. Электронный Журнал " Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления" . 1998, no. 4, 18-28. Доступно по ссылке: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/j025.pdf
  42. Кузнецов Д. Ф. Метод разложения и аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича, основанный на кратных рядах Фурье по полным ортонормированным системам функций и его применение к численному интегрированию стохастических дифференциальных уравнений Ито. Труды межд. конф. " Средства математического моделирования" С. -Петербург, 1998, с. 135-160
  43. Кузнецов Д. Ф. Использование различных полных ортонормированных систем функций для численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито. Тезисы докладов второй междунар. конф. " Дифференц. уравнения и их прим. " С. -Петербург, 1998, с. 128-129
  44. Кузнецов Д. Ф. Применение методов аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича и Ито к численному моделированию управляемых стохастических систем. Проблемы управления и информатики. 4 (1999), 91-108
  45. Кузнецов Д. Ф. Разложение повторных стохастических интегралов Стратоновича, основанное на кратных рядах Фурье. Зап. науч. сем. ПОМИ им. В. А. Стеклова. 260 (1999), 164-185
  46. Кузнецов Д. Ф. К проблеме численного моделирования стохастических систем. Вестн. молодых ученых. Сер. прикл. мат. и мех. 1 (1999), 20-32
  47. Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. С. -Петербург, Наука, 1999. 460 с
  48. Кузнецов Д. Ф. Применение полиномов Лежандра к среднеквадратической аппроксимации решений стохастических дифференциальных уравнений. Проблемы управления и информатики. 5 (2000), 84-104
  49. Кузнецов Д. Ф. Слабый численный метод четвертого порядка для стохастических дифференциальных уравнений Ито. Вестн. молодых ученых. Сер. прикл. мат. и мех. 4 (2000), 47-52
  50. Кузнецов Д. Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. С. -Петербург, Изд-во СПбГУ, 2001. 712 с
  51. Кузнецов Д. Ф. Новые представления явных одношаговых численных методов для стохастических дифференциальных уравнений со скачкообразной компонентой. Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 41: 6 (2001), 922-937
  52. Кузнецов Д. Ф. Новые представления разложения Тейлора-Стратоновича. Зап. науч. сем. ПОМИ им. В. А. Стеклова. 278 (2001), 141-158
  53. Кузнецов Д. Ф. Конечно-разностные сильные численные методы порядков точности 1. 5 и 2. 0 для стохастических дифференциальных уравнений Ито с неаддитивным многомерным шумом. Проблемы управления и информатики. 4 (2001), 59-73
  54. Кузнецов Д. Ф. Комбинированный метод сильной аппроксимации повторных стохастических интегралов. Проблемы управления и информатики. 4 (2002), 141-147
  55. Кузнецов Д. Ф. Трехшаговые сильные численные методы для стохастических дифференциальных уравнений Ито. Проблемы управления и информатики. 6 (2002), 104-119
  56. Кузнецов Д. Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. 2. С. -Петербург, Изд-во Политехнического ун-та, 2006. 764 с. DOI: 10. 18720/SPBPU/2/s17-227
  57. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. С программой в системе MATLAB 7. 0. С. -Петербург, Изд-во Политехнического ун-та, 2007. 778 с. DOI: 10. 18720/SPBPU/2/s17-228
  58. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. Изд. 2-е. С программами для PC в системе MATLAB 7. 0. С. -Петербург, Изд-во Политехнического ун-та, 2007. xxxii+770 с. DOI: 10. 18720/SPBPU/2/s17-229
  59. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. Изд. 3-е. С программами для PC в системе MATLAB 7. 0. С. -Петербург, Изд-во Политехнического ун-та, 2009. xxxiv+768 с. DOI: 10. 18720/SPBPU/2/s17-230
  60. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. Изд. 4-е. С программами для PC в системе MATLAB 7. 0. С. -Петербург, Изд-во Политехнического ун-та, 2010. xxx+786 с. DOI: 10. 18720/SPBPU/2/s17-231
  61. Кузнецов Д. Ф. Повторные стохастические интегралы Ито и Стратоновича и кратные ряды Фурье. Электронный журнал " Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления". 2010, no. 3, A. 1-A. 257. DOI: 10. 18720/SPBPU/2/z17-7. Доступно по ссылке: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/kuznetsov_book.pdf
  62. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. С программами в среде MatLab. Изд. 5-е. Электронный Журнал " Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления" , 2017, no. 2, A. 1-A. 1000. DOI: 10. 18720/SPBPU/2/z17-4. Доступно по ссылке: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/kuznetsov_book3.pdf
  63. Кузнецов Д. Ф. Разложение повторных стохастических интегралов Стратоновича второй кратности, основанное на двойных рядах Фурье-Лежандра, суммируемых по Принсхейму. Электронный Журнал " Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления". 2018, no. 1, 1-34. Доступно по ссылке: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/kuznetsov_4.pdf
  64. Кузнецов Д. Ф. К Численному моделированию многомерных динамических систем при случайных возмущениях с порядками сильной сходимости 1. 5 и 2. 0. Автоматика и телемеханика. 7 (2018), 80-98
  65. Кульчицкий О. Ю., Кузнецов Д. Ф. Разложение процессов Ито в ряд Тейлора-Ито в окрестности фиксированного момента времени. ВИНИТИ, 2637-В93 (1993), 26 с
  66. Кульчицкий О. Ю., Кузнецов Д. Ф. Аппроксимация кратных стохастических интегралов Ито. ВИНИТИ, 1678-В94 (1994), 42 с
  67. О. Ю. Кульчицкий, Д. Ф. Кузнецов, Унифицированное разложение Тейлора-Ито. Электронный Журнал " Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления". 1997, no. 1, 1-17. Доступно по ссылке: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/j001.pdf
  68. Кульчицкий О. Ю., Кузнецов Д. Ф. Унифицированное разложение Тейлора-Ито. Зап. науч. сем. ПОМИ им. В. А. Стеклова. 244 (1997), 186-204
  69. Кульчицкий О. Ю., Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование решений стохастических систем линейных стационарных дифференциальных уравнений. Электронный журнал " Дифференциальные Уравнения и Процессы Управления". 1998, no. 1, 41-65. Доступно по ссылке: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/j010.pdf
  70. Кульчицкий О. Ю., Кузнецов Д. Ф. Численные методы моделирования систем управления, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями. Проблемы управления и информатики. 2 (1998), 57-72
  71. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Москва, Наука, 1967. 736 с
  72. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов: Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. Москва, Наука, 1974. 696 с
  73. Мильштейн Г. Н. Приближенное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Теория вероятн. и ее прим. 19 (1974), 557-562
  74. Мильштейн Г. Н. Метод второго порядка точности интегрирования стохастических дифференциальных уравнений. Теория вероятн. и ее прим. 23 (1978), 396-401
  75. Мильштейн Г. Н. Слабая аппроксимация решений систем стохастических дифференциальных уравнений. Теория вероятн. и ее прим. 30 (1985), 750-766
  76. Мильштейн Г. Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск, Изд-во Уральск. ун-та, 1988. 225 с
  77. Мильштейн Г. Н. Решение первой краевой задачи для уравнений параболического типа с помощью интегрирования стохастических дифференциальных уравнений. Теория вероятн. и ее прим. 40 (1995), 657-665
  78. Насыров Ф. С. Локальные времена, симметричные интегралы и стохастический анализ. Москва, Физматлит, 2011. 212 с
  79. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. Москва, Наука, 1987. 424 с
  80. Никитин Н. Н., Разевиг В. Д. Методы цифрового моделирования стохастических дифференциальных уравнений и оценка их погрешностей. Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 18: 1 (1978), 106-117
  81. Орлов А. Служба Широты. Москва, Изд-во АН СССР, 1958. 126 с
  82. Первозванский А. А. Рынок: Расчет и риск. Mосква, ИНФРА, 1994. 210 с
  83. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд. 5-е. Москва, Наука, 1982. 331 c
  84. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы: Анализ и фильтрация. Москва, Наука, 1985. 559 с
  85. Разевиг В. Д. Цифровое моделирование многомерных динамических систем при случайных воздействиях. Автоматика и телемеханика. 4 (1980), 177-186
  86. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. Москва, Физматгиз, 1963. 284 с
  87. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. Москва, Наука, 1984. 304 с
  88. Рыжик И. М., Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд. 3-е. Москва-Ленинград, Гос. изд-во техн. -теор. лит., 1951. 464 с
  89. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. Москва, Наука, 1987. 476 с
  90. Самарский А. А. Теория разностных схем. Изд. 3-е. Москва, Наука, 1989. 614 с
  91. Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми приращениями. Москва, Наука, 1964. 280 с
  92. Слуцкий Е. Е. О 11-летней периодичности солнечных пятен. Докл. АН СССР. 4: 9, 1-2 (1935), 35-38
  93. Старченко Т. К. Об условиях сходимости двойных рядов Фурье-Лежандра. Труды института математики НАН Беларуси. Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. Минск. 5 (2000), 124-126
  94. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. Москва, Советское радио, 1961. 556 c
  95. Стратонович Р. Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. Москва, Изд-во МГУ, 1966. 320 с
  96. Стратонович Р. Л., Полякова М. С. Элементы молекулярной физики, термодинамики и статистической физики. Москва, Изд-во МГУ, 1981. 176 с
  97. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. Изд. 3-е (перераб. и дополн). М. : Физматлит, 2005. 480 с
  98. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Изд. 5-е. Москва, Наука, 1977. 735 с
  99. Толстов Г. П. Ряды Фурье. Москва-Ленинград, Гос. изд-во техн. -теор. лит., 1951. 396 с
  100. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. Москва, Наука, 1969. 365 с
  101. Ширяев А. Н. Вероятность. Москва, Наука, 1989. 640 c
  102. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2. Москва, Фазис, 1998. 544 с
  103. Allen E. Modeling with Ito stochastic differential equations. Dordrecht, Springer Publ., 2007. 240 p
  104. Allen E. Approximation of triple stochastic integrals through region subdivision. Communications in Applied Analysis (Special Tribute Issue to Professor V. Lakshmikantham), 17 (2013), 355-366
  105. Arato M. Linear stochastic systems with constant coefficients. A statistical approach. Berlin, Heidelberg, N. Y., Springer-Verlag Publ., 1982. 289 p
  106. Arnold L. Stochastic differential equations: Theory and applications. N. Y., Wiley Publ., 1974. 228 p
  107. Arnold L., Kloeden P. E. Explicit formulae for the Lyapunov exponents and rotation number of two-dimensional systems with telegraphic noise. SIAM J. Appl. Math. 49 (1989), 1242-1274
  108. Bachelier L. Theorie de la speculation. Ann. Sci. Ecol. Norm. Sup. Ser. 3. 17 (1900), 21-86
  109. Bally V., Talay D. The Euler scheme for stochastic differential equations: Error analysis with Malliavin calculus. Math. Comput. Simulation. 38 (1995), 35-4l
  110. Bally V., Talay D. The law of the Euler scheme for stochastic differential equations I. Convergence rate of the distribution function. Probab. Theory Related Fields. 104: 1 (1996), 43-60
  111. Bally V., Talay D. The law of the Euler scheme for stochastic differential equations II. Convergence rate of the density. Monte Carlo Methods Appl. 2: 2 (1996) 93-128
  112. Bjork T., Kabanov Yu., Runggaldier W. Bond market structure in the presence of marked point processes. Math. Finance. 7: 2 (1997), 211-239
  113. Blumenthal R. M., Getoor R. K., McKean H. P. Markov processes with identical hitting distributions. Illinois J. Math. 6 (1962), 402-421
  114. Boyce W. E. Approximate solution of random ordinary differential equations. Adv. in Appl. Probab. 10 (1978), 172-184
  115. Burrage K., Platen E. Runge-Kutta methods for stochastic differential equations. Ann. Numer. Math. 1: 1-4 (1994), 63-78
  116. Chang C. C. Numerical solution of stochastic differential equations with constant diffusion coefficients. Math. Comput. 49 (1987), 523-542
  117. Chung K. L., Williams R. J. Introduction to stochastic integration. Progress in Probability and Stochastics. Vol. 4, Ed. Huber P., Rosenblatt M. Boston, Basel, Stuttgart, Birkhauser Publ., 1983. 152 p
  118. Claudine L, Rosler A. Iterated stochastic integrals in infinite dimensions - approximation and error estimates. arXiv:1709. 06961 [math. PR], 2017, 22 p
  119. Clements D. J., Anderson B. D. O. Well behaved Ito equations with simulations that always misbehave. IEEE Trans. Automat. Control. AC-18 (1973), 676-677
  120. Doob J. L. Semimartingales and subharmonic functions. Trans. Amer. Math. Soc. 77 (1954), 86-121
  121. Einstein A. Investigations on the theory of the Brownien movement. N. Y., Dover, 1956. 122 p
  122. Feng J. F. Numerical solution of stochastic differential equations. Chinese J. Numer. Math. Appl. 12 (1990), 28-41
  123. Feng J. F., Lei G. Y., Qian M. P. Second order methods for solving stochastic differential equations. J. Comput. Math. 10: 4 (1992), 376-387
  124. Friedman A. Partial differential equations of parabolic type. Englewood Cliffs, Prentice-Hall Publ., 1964. 347 p
  125. Gantmacher F. R. The theory of matrices. New York, Chelsea Publ., 1959. Vol. 1: 374 p., Vol. 2: 277 p
  126. Gard T. C. Introduction to stochastic differential equations. N. Y., Marcel Dekker Publ., 1988. 324 p
  127. Gilsing H, Shardlow T. SDELab: A package for solving stochastic differential equations in MATLAB. J. Comp. Appl. Math. 205: 2 (2007), 1002-1018
  128. Greenside H. S., Helfand E. Numerical integration of stochastic differential equations. II. Bell System Tech. J. 60 (1981), 1927-1940
  129. Han X, Kloeden P. E. Random ordinary differential equations and their numerical solution. Singapore: Springer Publ. 2017, 250 p
  130. Hardy G. H., Rogosinski W. W. Fourier series. N. Y., Dover Publ., 1999. 112 p
  131. Haworth D. C., Pope S. B. A second-order Monte-Carlo method for the solution of the Ito stochastic differential equation. Stoch. Anal. Appl. 4 (1986), 151-186
  132. Henrici P. Discrete variable methods in ordinary differential equations. N. Y., Wiley Publ., 1962. 407 p
  133. Hernandez D. B., Spigler R. Convergence and stability of implicit Runge-Kutta methods for systems with multiplicative noise. BIT. 33 (1993), 654-669
  134. Higham D. J., Mao X., Stuart A. M. Strong convergence of Euler-type methods for nonlinear stochastic differential equations. SIAM J. Numer. Anal. 40 (2002), 1041-1063
  135. Hobson E. W. The theory of spherical and ellipsoidal harmonics. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1931. 502 p
  136. Hofmann N., Platen E. Stability of weak numerical schemes for stochastic differential equations. Comput. Math. Appl. 28: 10-12 (1994), 45-57
  137. Hofmann N., Platen E. Stability of superimplisit numerical methods for stochastic differential equations. Fields Inst. Communications. 9 (1996), 93-104
  138. Hull J., White A. The pricing of options as assets with stochastic volatilities. J. Finance. 42 (1987), 281-300
  139. Hull J. Options, futures and other derivatives securities. N. Y., J. Willey and Sons Publ., 1993. 368 p
  140. Ikeda N., Watanabe S,. Stochastic differential equations and diffusion processes. Amsterdam, Oxford, N. Y., North Holland Publ. Co., 1981. 480 p
  141. Janssen R. Difference-methods for stochastic differential equations with discontinuous coefficients. Stochastics. 13 (1984), 199-212
  142. Janssen R. Discretization of the Wiener process in difference methods for stochastic differential equations. Stochastic Process. Appl. 18 (1984), 361-369
  143. Kac M. On distribution of certain Wiener functionals. Trans. Amer. Math. Soc. 65 (1949), 1-13
  144. Kac M. On some connections between probability theory and differential and integral equations. Proc. Second Berkley Symp. Math. Stat. Probab. 1 (1951), 189-215
  145. Kamrani M., Jamshidi N. Implicit Milstein method for stochastic differential equations via the Wong-Zakai approximation. Numerical Algorithms. (2017), 1-18
  146. Klauder J. R., Petersen W. P. Numerical integration of multiplicative-noise stochastic differential equations. SIAM J. Numer. Anal. 22 (1985), 1153-1166
  147. Kloeden P. E., Platen E. The Stratonovich and Ito-Taylor expansions. Math. Nachr. 151 (1991), 33-50
  148. Kloeden P. E., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equations. Berlin, Springer-Verlag Publ., 1992. 632 p
  149. Kloeden P. E., Platen E., Wright I. W. The approximation of multiple stochastic integrals. Stoch. Anal. Appl. 10: 4 (1992), 431-441
  150. Kloeden P. E., Platen E. Higher-order implicit strong numerical schemes for stochastic differential equations. J. Statist. Phisics. 66 (1992), 283-314
  151. Kloeden P. E., Platen E., Schurz H. Numerical solution of SDE through computer experiments. Berlin, Springer-Verlag Publ., 1994. 292 p
  152. Kloeden P. E., Platen E., Hofmann N. Extrapolation methods for the weak approximation of Ito diffusions. SIAM J. Numer. Anal. 32 (1995), 1519-1534
  153. Kloeden P. E., Platen E., Schurz H., Sorensen M. On effects of discretization on estimators of drift parameters for diffusion processes. J. Appl. Probab. 33 (1996), 1061-1076
  154. Kushner H. J. Stochastic stability and control. N. Y., London, Academic Press, 1967. 162 p
  155. Kushner H. J. Probubility methods for approximations in stochastic control and for elliptic equations. N. Y., San Francisco, London, Academic Press, 1977. 242 p
  156. Kuznetsov D. F. Strong approximation of multiple Ito and Stratonovich stochastic integrals: multiple Fourier series approach. (In English). St. -Petersburg, Polytechnical University Publishing House, 2011, 250 p. DOI: 10. 18720/SPBPU/2/s17-232
  157. Kuznetsov D. F. Strong approximation of multiple Ito and Stratonovich stochastic integrals: multiple Fourier series approach. 2nd Ed. (In English). St. -Petersburg, Polytechnical University Publishing House, 2011, 284 p. DOI: 10. 18720/SPBPU/2/s17-233
  158. Kuznetsov D. F. Multiple Ito and Stratonovich stochastic integrals: approximations, properties, formulas. (In English). St. -Petersburg, Polytechnical University Publishing House, 2013, 382 p. DOI: 10. 18720/SPBPU/2/s17-234
  159. Kuznetsov D. F. Multiple Ito and Stratonovich stochastic integrals: Fourier-Legendre and trigonometric expansions, approximations, formulas. (In English). Electronic Journal " Differential Equations and Control Processes". 2017, no. 1, A. 1-A. 385. DOI: 10. 18720/SPBPU/2/z17-3. Available at: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/kuznetsov_book2.pdf
  160. Kuznetsov D. F. Strong approximation of multiple Ito and Stratonovich stochastic integrals. Intern. Conf. on Mathematical Modeling in Applied Sciences. Abstracts Book, S. -Petersburg, Polytechnic University Publishing House, 2017, 141-142
  161. Kuznetsov D. F. Application of the Fourier method to the mean-square approximation of multiple Ito and Stratonovich stochastic integrals. (In English). arXiv:1712. 08991 [math. PR]. 2017, 15 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1712.08991
  162. Kuznetsov D. F. Expansions of multiple Stratonovich stochastic integrals, based on generalized multiple Fourier series. (In English). arXiv:1712. 09516 [math. PR]. 2017, 25 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1712.09516
  163. Kuznetsov D. F. Expansion of multiple Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity, based on generalized multiple Fourier series, converging in the mean. (In English). arXiv:1712. 09746 [math. PR]. 2017, 22 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1712.09746
  164. Kuznetsov D. F. Mean-square approximation of multiple Ito and Stratonovich stochastic integrals from the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions, using Legendre polynomials. (In English). arXiv:1801. 00231 [math. PR]. 2017, 26 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1801.00231
  165. Kuznetsov D. F. Expansion of multiple Stratonovich stochastic integrals of arbitrary multiplicity, based on generalized repeated Fourier series, converging pointwise. (In English). arXiv:1801. 00784 [math. PR]. 2018, 23 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1801.00784
  166. Kuznetsov D. F. Exact calculation of mean-square error of approximation of multiple Ito stochastic integrals for the method, based on the multiple Fourier series. (In English). arXiv:1801. 01079 [math. PR]. 2018, 19 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1801.01079
  167. Kuznetsov D. F. Expansion of triple Stratonovich stochastic integrals, based on generalized multiple Fourier series, converging in the mean: general case of series summation. (In English). arXiv:1801. 01564 [math. PR]. 2018, 26 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1801.01564
  168. Kuznetsov D. F. Expansion of multiple Stratonovich stochastic integrals of multiplicity 2, based on double Fourier-Legendre series, summarized by Prinsheim method. (In Russ). arXiv:1801. 01962 [math. PR]. 2018, 21 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1801.01962
  169. Kuznetsov D. F. The hypothesis about expansion of multiple Stratonovich stochastic integrals of arbitrary multiplicity. (In English). arXiv:1801. 03195 [math. PR]. 2018, 14 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1801.03195
  170. Kuznetsov D. F. Direct combined approach for expansion of multiple Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 2 - 4, based on generalized multiple Fourier series. (In English). arXiv:1801. 05654 [math. PR]. 2018, 22 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1801.05654
  171. Kuznetsov D. F. Application of the direct combined approach to expansion of double Stratonovich stochastic integrals. (In English). arXiv:1801. 07248 [math. PR]. 2018, 9 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1801.07248
  172. Kuznetsov D. F. Theorems about integration order replacement in multiple Ito stochastic integrals. (In English). arXiv:1801. 04634 [math. PR]. 2018, 21 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1801.04634
  173. Kuznetsov D. F. Expansion of multiple stochastic integrals according to martingale Poisson measures and according to martingales, based on generalized multiple Fourier series. (In English). arXiv:1801. 06501 [math. PR]. 2018, 20 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1801.06501
  174. Kuznetsov D. F. Expansions of multiple Stratonovich stochastic integrals from the Taylor-Stratonovich expansion, based on multiple trigonometric Fourier series. Comparison with the Milstein Expansion. (In English). arXiv:1801. 08862 [math. PR]. 2018, 18 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1801.08862
  175. Kuznetsov D. F. Expansion of multiple Stratonovich stochastic integrals of fifth multiplicity, based on generalized multiple Fourier series. (In English). arXiv:1802. 00643 [math. PR]. 2018, 21 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1802.00643
  176. Kuznetsov D. F. To numerical modeling with strong orders 1. 5 and 2. 0 of convergence for multidimensional dynamical systems with random disturbances. (In Russ. ). arXiv:1802. 00888 [math. PR]. 2018, 15 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1802.00888
  177. Kuznetsov D. F. Explicit one-step strong numerical methods of order 2. 5 for Ito stochastic differential equations, based on the unified Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions. (In English). arXiv:1802. 04844 [math. PR]. 2018, 23 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1802.04844
  178. Kuznetsov D. F. Numerical simulation of 2. 5-set of multiple Ito stochastic integrals of multiplicities 1 to 5. (In English). arXiv:1805. 12527 [math. PR]. 2018, 16 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1805.12527
  179. Kuznetsov D. F. Numerical simulation of 2. 5-set of multiple Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 5. (In Russ. ). arXiv:1806. 10705 [math. PR]. 2018, 16 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1806.10705
  180. Kuznetsov D. F. New representation of Levy stochastic area, based on Legendre polynomials. (In English). arXiv: 1807. 00409 [math. PR]. 2018, 16 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1807.00409
  181. Kuznetsov D. F. Strong numerical methods of order 3. 0 for Ito stochastic differential equations, based on the unified stochastic Taylor expansions and multiple Fourier-Legendre series (In English). arXiv:1807. 02190 [math. PR]. 2018, 30 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1807.02190
  182. Kuznetsov D. F. Development and application of the Fourier method for the numerical solution of Ito stochastic differential equations. Comput. Math. Math. Phys. 58: 7 (2018), 1058-1070
  183. Lotka A. J. Undamped oscillations derived from the law of mass action. J. Amer. Chem. Soc. 42: 8 (1920), 1595-1599
  184. Maghsoodi Y., Harris C. J. In-probubility approximation and simulation of nonlinear jump-diffusion SDE. IMA J. Math. Control Inform. 4 (1987), 65-92
  185. Maghsoodi Y. Mean-square efficient numerical solution of jump-diffusion SDE. 1994. Preprint OR72. Univ. of Southampton. 26 p
  186. Maruyama G. Continuous Markov processes and stochastic equations. Rend. Circ. Math. Palermo. 4 (1955), 48-90
  187. McKenna J., Morrison J. A. Moments and correlation functions of a stochastic differential equation. J. Math. Phys. 11 (1970), 2348-2360
  188. McKenna J., Morrison J. A. Moments of solutions of a class of stochastic differential equations. J. Math. Phys. 12 (1971), 2126-2136
  189. Merton R. C. Option pricing when underlying stock returns and discontinuous. J. Financial Economics. 3 (1976), 125-144
  190. Merton R. C. Continuous-time finance. Oxford; N. Y., Blackwell Publ., 1990. 453 p
  191. Mikulevicius R. On some properties of solutions of stochastic differential equations. Lietuvos Mat. Rink. 4 (1983), 18-31
  192. Mikulevicius R., Platen E. Time discrete Taylor approximations for Ito processes with jump component. Math. Nachr. 138 (1988), 93-104
  193. Mikulevicius R., Platen E. Rate of convergence of the Euler approximation for diffusion processes. Math. Nachr. 151 (1991), 233-239
  194. Milstein G. N. The probability approach to numerical solution of nonlinear parabolic equations. 1997. Preprint No. 380, WIAS. 29 p
  195. Milstein G. N., Platen E., Schurz H. Balanced implicit methods for stiff stochastic systems. SIAM J. Numer. Anal. 35: 3 (1998), 1010-1019
  196. Milstein G. N., Tretyakov M. V. Stochastic numerics for mathematical physics. Berlin, Springer-Verlag Publ., 2004. 596 p
  197. Milstein G. N., Tretyakov M. V. Numerical integration of stochastic differential equations with nonglobally lipschitz coefficients. SIAM J. Numer. Anal. 43: 3 (2005), 1139-1154
  198. Milstein G. N., Tretyakov M. V. Numerical algorithms for forward-backward stochastic differential equations. SIAM J. Sci. Comput. 28: 2 (2006), 561-582
  199. Milstein G. N., Tretyakov M. V. Practical variance reduction via regression for simulating diffusions. Reseach Reports in Mathematics. Report No. MA-06-019, University of Leicester, 2006. 24 p
  200. Milstein G. N., Tretyakov M. V. Solving linear parabolic stochastic partial differential equations via averaging over characteristics. Reseach Reports in Mathematics. Report No. MA-07-009, University of Leicester, 2007. 26 p
  201. Newton N. J. An asymptotically efficient difference formula for solving stochastic differential equations. Stochastics. 19 (1986), 175-206
  202. Newton N. J. Asymptotically optimal discrete approximations for stochastic differential equations. In theory and applications of nonlinear control systems. Ed. C. Byrnes, A. Lindquist. Amsterdam, 1986, p. 555-567
  203. Newton N. J. Asymptotically efficient Runge-Kutta methods for a class of Ito and Stratonovich equations. SIAM J. Appl. Math. 51 (1991), 542-567
  204. Nyquist H. Thermal agittation of electric charge in conductors. Phys. Rev. 32 (1928), 110-113
  205. Obuhov A. M. Description of turbulence in Lagrangian variables. Adv. Geophis. 3 (1959), 113-115
  206. Petrovski I. G. Uber das Irrfahrtproblem. Math. Ann. 109 (1934), 425-444
  207. Pettersson R. The Stratonovich-Taylor expansion and numerical methods. Stoch. Anal. Appl. 10: 5 (1992), 603-612
  208. Philips H. B., Wiener N. Nets and Dirichlet problem. J. Math. Phys. 2 (1923), 105-124
  209. Platen E. A Taylor-Ito formula for semimartingales solving a stochastic differential equation. Springer Lecture Notes in Control and Inform. Sci. 36 (1981), 157-164
  210. Platen E. A generalized Taylor formula for solutions of stochastic differential equations. Sankhya. 44A (1982), 163-172
  211. Platen E. An approximation method for a class of Ito processes with jump component. Lietuvos Mat. Rink. 22 (1982), 124-136
  212. Platen E., Wagner W. On a Taylor formula for a class of Ito processes. Probab. Math. Statist. 3 (1982), 37-51
  213. Platen E. Zur zeitdiskreten Approximation von Itoprozessen. Diss. B., IMath. Akad. der Wiss. der DDR, 1984. Berlin
  214. Platen E. Higher-order weak approximation of Ito diffusions by Markov chains. Probab. Eng. Inform. Sci. 6 (1992), 391-408
  215. Platen E. On weak implicit and predictor-corrector methods. Math. Comput. Simulation. 38 (1995), 69-76
  216. Platen E. An introduction to numerical methods for stochastic differential equations. Acta Numerica. 8 (1999), 197-246
  217. Platen E., Bruti-Liberati N. Numerical solution of stochastic differential equations with jumps in finance. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag Publ., 2010. 868 p
  218. Pontrjagin L. S., Andronov A. A., Witt A. A. Statistische auffassung dynamischer systeme. Phys. Zeit. 6: (1934), 1-24
  219. Reshniak V., Khaliq A. Q. M, Voss D. A., Zhang G. Split-step Milstein methods for multi-channel stiff stochastic differential systems. Applied Numerical Mathematics. 89 (2015), 1-23
  220. Richardson J. M. The application of truncated hierarchy techniques in the solution of a stochastic linear differential equation. In Stochastic Processes in Mathematical Phisics and Engineering. Proc. Symp. Appl. Math. Ed. R. Bellman. Amer. Math. Soc. Providence RI. 16 (1964), 290-302
  221. Rossler O. E. An equation for continuous chaos. Phys. Lett. 57A (1976), 397-398
  222. Rumelin W. Numerical treatment of stochastic differential equations. SIAM J. Numer. Anal. 19 (1982), 604-613
  223. Ryden T., Wiktorsson M. On the simulation of iterated Ito integrals. Stoch. Processes and their Appl. 91 (2001) 151-168
  224. Schurz H. Asymptotical mean square stability of an equilibrium point of some linear numerical solutions with multiplicative noise. Stoch. Anal. Appl. 14 (1996), 313-354
  225. Schurz, H. Numerical regularization for SDEs: construction of nonnegative solutions. Dynam. Systems Appl. 5: 3, (1996), 323-351
  226. Shkurko I. O. Numerical solution of linear systems of stochastic differential equations. Numer. Methods Statist. Modeling. Collected Scientific Works. Novosibirsk, 1987. p. 101-109
  227. Smoluhovski M. V. Drei Vortrage uber Diffusion Brownsche Bewegung und Koagulation von Kolloidteilchen. Phys. Zeit. 17 (1916), 557-585
  228. Strook D. W., Varadhan S. R. S. Multidimensional diffusion processes. Berlin, Springer Publ., 1979. 338 p
  229. Talay D. Convergence pour chaque trajectoire d'un scheme d'approximation des EDS. Computes Rendus Acad. Sci. Paris. Ser. I. Math. 295 (1982), 249-252
  230. Talay D. Efficient numerical schemes for the approximation of expectations of functionals of the solution of an SDE and applications. Springer Lecture Notes in Control and Inform. Sci. 61 (1984), 294-313
  231. Talay D., Tubaro L. Expansion of the global error for numerical schemes solving stochastic differential equations. Stoch. Anal. Appl. 8: 4 (1990), 483-509
  232. Ueno T. The diffusion satisfying Wentzell's boundary conditions and the Markov processes on the boundary. Proc. Japan Akad. 36 (1960), 533-538
  233. Van der Ziel A. Fluctuation phenomena in semi-conductors. London, Butterworths Scientific Publ., 1959, 168 p
  234. Wagner W., Platen E. Approximation of Ito integral equations. Preprint ZIMM Akad. Wiss. DDR. Berlin. 1978. 27 p
  235. Wagner W. Unbiased Monte-Carlo evaluation of certain functional integrals. J. Comput. Phys. 71 (1987), 21-33
  236. Wagner W. Monte-Carlo evaluation of functionals of solutions of stochastic differential equations. Variance reduction and numerical examples. Stoch. Anal. Appl. 6 (1988), 447-468
  237. Wolf J. R. Neue Untersuchungen uber die Periode der Sonnenflecken und ihre Bedeutung. Mit. Naturforsch. Ges. Bern. 255, (1852), 249-270
  238. Wright D. J. The digital simulation of stochastic differential equations. IEEE Trans. Automat. Control. AC-19 (1974), 75-76
  239. Wright D. J. Digital simulation of Poisson stochastic differential equations. Internat. J. Systems Sci. 6 (1980), 781-785
  240. Zahri M. Multidimensional Milstein scheme for solving a stochastic model for prebiotic evolution. Journal of Taibah University for Science. 8: 2 (2014), 186-198

Полный текст (pdf)