Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

Tри свойства одной дискретной динамической системы в пространстве бесконечно дифференцируемых функций

Автор(ы):

Иван Андреевич Подлужный

Санкт-Петербургский Государственный Университет
математико-механический факультет
кафедра математического анализа
студент

sherman97@mail.ru

Александр Алексеевич Флоринский

Санкт-Петербургский Государственный Университет
математико-механический факультет
кафедра математического анализа
доцент

florinskiy.a@gmail.com

Аннотация:

Рассматривается нелинейный оператор, порожденный некоторой функцией двух вещественных переменных и действующий в пространстве бесконечно дифференцируемых вещественных функций одного переменного, пробегающего фиксированный замкнутый промежуток на вещественной прямой. Каждой такой функции одного переменного оператор сопоставляет результат подстановки ее производной в качестве второго аргумента в упомянутую порождающую функцию.
Первый аргумент порождающей функции предполагается пробегаеющим упомянутый промежуток, второй - всю вещественную ось. Также предполагается, что функция являтся гладкой по совокупности аргументов, строго возрастающей и билипшицевой по второму аргументу.
Для каждой траектории порожденной таким оператором дискретной динамической системы (в общем случае хаотической) доказываются следующие три утверждения:
- поточечная ограниченность траектории сверху эквивалентна ее равномерной ограниченности сверху;
- поточечная сходимость траектории эквивалентна ее метрической сходимости в пространстве бесконечно дифференцируемых функций;
- два свойства точной (поточечной) верхней границы траектории эквивалентны: свойство являться точной нижней границей некоторой другой траектории системы и свойство быть неподвижной точкой рассматриваемого оператора.

Последнее утверждение является порядковой характеристикой неподвижных точек данного оператора,не являющегося, вообще говоря, монотонным.

Ключевые слова

• бесконечномерная динамическая система
• наименьшая поточечная верхняя граница
• нелинейный оператор
• неподвижная точка
• поточечная ограниченность сверху
• равномерная ограниченность сверху
• траектория

Ссылки:

1. R. P. Boas «When is a function analytic? » Math. Intellegencer 11, №4, 1989, 34-37
2. B. M. Makarov, M. G. Golusina, A. A. Lodkin, A. N. Podkorytov. Problemes d’analise reele. Paris, Cassini, 2010, 593 P
3. Ilyin Y. A. “General problems of integration of differential inequalities in explicit form” , Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy. 2017, vol. 4(62), issue 4. p. 597-607
4. Karl-Gosurin, Grosse Erdman “Universal Families and Hypercyclic operators”, Bulletin of the AMS, vol. 36 №3 345-381
5. G. R. MacLane. Sequences of derivatives and normal families, J. Analise Math. (1952/53), MR 14:741d

Полный текст (pdf)