English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Аппроксимация повторных стохастических интегралов Ито второй кратности, основанная на разложении винеровского процесса с помощью полиномов Лежандра и тригонометрических функций

Автор(ы):

Дмитрий Феликсович Кузнецов

Санкт-Петербургский Политехнический Университет Петра Великого
Россия, 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29
кафедра "Высшая Математика"
Профессор, доктор физико-математических наук

sde_kuznetsov@inbox.ru

Аннотация:

Статья посвящена среднеквадратической аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито второй кратности, основанной на разложении винеровского процесса с помощью полных ортонормированных систем функций. Рассмотрены аппроксимации указанных стохастических интегралов с помощью полиномов Лежандра и тригонометрических функций. В отличие от метода аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито, основанного на разложении Карунена-Лоэва для винеровского процесса, рассматриваемый метод позволяет использовать различные системы базисных функций, а не только тригонометрическую систему функций. Предложенный метод позволяет получать аппроксимации стохастических интегралов существенно проще, чем методы, основанные на обобщенных кратных рядах Фурье. Последние предполагают вычисление коэффициентов кратных рядов Фурье, что является трудоемкой задачей. Полученные результаты могут быть применены к реализации метода Мильштейна для численного интегрирования стохастических дифференциальных уранений Ито и полулинейных параболических стохастических дифференциальных уравнений с частными производными.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Гихман, И. И., Скороход, А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев, Наукова думка, 1982. 612 с.
  2. Kloeden, P. E., Platen, E. Numerical solution of stochastic differential equations. Berlin, Springer-Verlag Publ., 1992. 632 p.
  3. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2. Москва, Фазис, 1998. 544 с.
  4. Kloeden, P.E., Platen, E., Schurz, H. Numerical solution of SDE through computer experiments. Berlin, Springer Publ., 1994. 292 p.
  5. Milstein, G. N., Tretyakov, M. V. Stochastic numerics for mathematical physics. Berlin, Springer-Verlag Publ., 2004. 596 p.
  6. Кузнецов Д. Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. 2. С. -Петербург, Изд-во Политехнического ун-та, 2006. 764 с. DOI: http://doi.org/10.18720/SPBPU/2/s17-227
  7. Platen, E., Bruti-Liberati, N. Numerical solution of stochastic differential equations with jumps in finance. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag Publ., 2010. 868 p.
  8. Аверина, Т. А. Статистическое моделирование решений стохастических дифференциальных уравнений и систем со случайной структурой. Новосибирск, Изд-во СО РАН, 2019. 350 с.
  9. Липцер, Р. Ш., Ширяев, А. Н. Статистика случайных процессов: Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. Москва, Наука, 1974. 696 с.
  10. Насыров, Ф. С. Локальные времена, симметричные интегралы и стохастический анализ. Москва, Физматлит, 2011. 212 с.
  11. Рыбаков, К. А. Статистические методы анализа и фильтрации в непрерывных стохастических системах. Москва, Изд-во МАИ, 2017. 176 с
  12. Мильштейн, Г. Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск, Изд-во Уральск. ун-та, 1988. 225 с.
  13. Jentzen, A., Rockner, M. A Milstein scheme for SPDEs. Found. Comp. Math. 15: 2 (2015), 313-362.
  14. Leonhard C., Roessler A. Iterated stochastic integrals in infinite dimensions: approximation and error estimates. Stoch. PDE: Anal. Comput. 7: 2 (2019), 209-239.
  15. Kloeden, P. E., Platen, E., Wright, I. W. The approximation of multiple stochastic integrals. Stoch. Anal. Appl. 10: 4 (1992), 431-441.
  16. Кузнецов, Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. С программами в среде MATLAB. Изд. 6-е. Дифференциальные уравнения и процессы управления. 4 (2018), A.1-A.1073. Доступно по ссылке: http://diffjournal.spbu.ru/RU/numbers/2018.4/article.2.1.html
  17. Кузнецов, Д. Ф. Разработка и применение метода Фурье к численному интегрированию стохастических дифференциальных уравнений Ито. Журнал вычислительной математики и математической физики. 58: 7 (2018), 1108–1120.
  18. Кузнецов, Д. Ф. К Численному моделированию многомерных динамических систем при случайных возмущениях с порядками сильной сходимости 1.5 и 2.0. Автоматика и телемеханика. 7 (2018), 80-98.
  19. Кузнецов, Д. Ф. К численному моделированию многомерных динамических систем при случайных возмущениях с порядком сильной сходимости 2.5. Автоматика и телемеханика. 5 (2019), 99–117.
  20. Кузнецов, Д. Ф. Сравнительный анализ эффективности применения полиномов Лежандра и тригонометрических функций к численному интегрированию стохастических дифференциальных уравнений Ито. Журнал вычислительной математики и математической физики. 59: 8 (2019), 1299–1313.
  21. Кузнецов, Д. Ф. Методы численного моделирования решений систем стохастических дифференциальных уравнений Ито в задачах механики. Канд. дисс., С. -Петербург, 1996. 260 с.
  22. Кузнецов, Д. Ф. Метод разложения и аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича, основанный на кратных рядах Фурье по полным ортонормированным системам функций. Дифференциальные уравнения и процессы управления. 1 (1997), 18-77. Доступно по ссылке: http://diffjournal.spbu.ru/RU/numbers/1997.1/article.1.2.html
  23. Кузнецов, Д. Ф. Разложение повторных стохастических интегралов Стратоновича второй кратности, основанное на двойных рядах Фурье-Лежандра, суммируемых по Принсхейму. Дифференциальные уравнения и процессы управления. 1 (2018), 1-34. Доступно по ссылке: http://diffjournal.spbu.ru/RU/numbers/2018.1/article.1.1.html
  24. Пригарин, С. М., Белов, С. М. Об одном применении разложений винеровского процесса в ряды. Препринт 1107. Новосибирск, Изд-во СО РАН, 1998, 16 с.
  25. Kuznetsov, D.F. New simple method for obtainment an expansion of double stochastic Ito integrals, based on the expansion of Brownian motion using Legendre polynomials and trigonometric functions (In English). arXiv:1807.00409v4 [math.PR], 2019, 19 p. Available at: https://arxiv.org/abs/1807.00409
  26. Wiener, N. Un problème de probabilités dénombrables. Bull. Soc. Math. France. 52 (1924), 569-578.
  27. Lévy, P. Wiener's random function and other Laplacian random functions. Proc. 2nd Berkeley Symp. Math. Stat. Prob. 1951, 171-187.
  28. Ito, K., McKean, H. Diffusion processes and their sample paths. Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag Publ., 1965. 395 p.
  29. Luo, W. Wiener chaos expansion and numerical solutions of stochastic partial differential equations. Ph. D., California Institute of Technology, 2006. 225 p.
  30. Дынкин, Е. Б. Марковские процессы. Москва, Наука, 1963. 860 с.
  31. Суетин, П. К. Классические ортогональные многочлены. Изд. 3-е. Москва, Физматлит, 2005. 480 с.
  32. Kuznetsov, D.F. Application of the method of approximation of iterated stochastic Ito integrals based on generalized multiple Fourier series to the high-order strong numerical methods for non-commutative semilinear stochastic partial differential equations. Differencial'nie uravnenia i processy upravlenia, 2019, no. 3, 18-62. Available at: http://diffjournal.spbu.ru/EN/numbers/2019.3/article.1.2.html

Полный текст (pdf)