English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Ограниченность решений одного класса линейных систем

Автор(ы):

Борис Филиппович Иванов

Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна,
Высшая школа технологии и энергетики.
198095 Санкт-Петербург, ул. Ивана Черных, дом 4,
Кандидат физико-математических наук, доцент.

ivanov-bf@yandex.ru

Аннотация:

В работе рассматривается линейная неоднородная система дифференциальных уравнений. Матрица-коэффициент в линейной части представляет собой сумму абсолютно суммируемой матрицы и матрицы суммируемой со степенью большей единицы, но не превосходящей двух. Предполагается, что преобразование Фурье каждой из функций, являющихся элементами второй матрицы, равно нулю в некоторой окрестности нуля. Кроме того, предполагается, что неоднородность суммируема со степенью большей единицы (или существенно ограничена) и обладает ограниченным интегралом, а сумма величин обратных показателям суммируемости второй матрицы и неоднородности меньше единицы. В предыдущих работах автором были введены понятие множества резонансных точек, а также резонансное и нерезонансное условия для функций суммируемых с какой-либо степенью или существенно ограниченных. В данной работе предложен критерий ограниченности решений системы в виде ряда условий на резонансные точки некоторых коэффициентов системы. Доказано, что если для ряда коэффициентов системы выполнены нерезонансные условия, которые для конечных резонансных точек имеют вид арифметических соотношений между их координатами (т.е. между резонансными частотами), то каждое решение системы ограничено. Кроме того, установлено, что в резонансном случае всегда можно выбрать такие сколь угодно малые (в смысле норм соответствующих пространств) возмущения коэффициентов системы, при которых резонансные множества коэффициентов системы не увеличатся, будет выполняться резонансное условие, но у возмущенной системы возникнут неограниченные решения.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Чезари, Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. 477 с.
  2. Coppel, W. A. Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations. Heath, Boston, Mass., 1965.
  3. Conti, R. On the boundedness of solutions of ordinary differential equations. Funkcialaj Ekvacioj 1966. Vol. 9 №1. P. 23-26
  4. Массера, Х., Шеффер, Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970.
  5. Королев, В. В. Об ограниченности решений линейной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.// Дифференц. уравнения. 1966. Т.2, №5 С.609-613.
  6. Wallgren, T. Oscillations of solutions of the differential equation y''+p(y)=f(x). SIAM J. Math. Anal. 1976. Vol. 7, №6. P. 848-857.
  7. Плисс, В. А. Равномерно ограниченные решения линейных систем дифференциальных уравнений.// Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, №5 С.883-891.
  8. Плисс, В. А. Множества линейных систем с равномерно ограниченными решениями. // Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, №9. С.1599-1616.
  9. Митропольский, Ю. А., Самойленко, А. М., Кулик, В. Л. Применение квадратичных форм к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений.// Дифференц. уравнения. 1985. Т.21 №5. С.776-788.
  10. Кулик, В. Л. Ограниченные решения систем линейных систем дифференциальных уравнений. // Укр. мат. журн. 1987. Т.39, №6. С.729-732.
  11. Миллионщиков, В. М. Усиление теоремы о стабильной ограниченности решений. // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, №11. С. 2011.
  12. Баскаков, А. Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 2003. Т.39, №12. С.413-415.
  13. Изобов, Н. А., Прохорова Р. А. Линейные дифференциальные системы Коппеля-Конти. Мн.: Белорус.наука, 2008. 230 с.
  14. Бортницкая, Л. И., Прохорова Р. А. Линейные системы с L^p - дихотомией на оси. // Шестые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям: материалы международной математической конференции (7--10 декабря 2015.), Минск, Белоруссия: Издательство Минск Ин-т математики НАН Беларуси 2015, с.18-19, т.3.
  15. Иванов, Б. Ф. Об одном дополнении к неравенству Гёльдера. I // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2017 Т.4(62), №3 с.436-447.
  16. Иванов, Б. Ф. Об одном дополнении к неравенству Гёльдера. II // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2017 Т.4(62), №4 с.586-596.
  17. Иванов, Б. Ф. Об одном дополнении к неравенству Гёльдера. Случай резонанса. I // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2018 Т.5(63) №1, с. 60-69.
  18. Иванов, Б. Ф. Об одном дополнении к неравенству Гёльдера. Случай резонанса. II // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2018 Т.5(63)№2, с.233-243.
  19. Функциональный анализ. Серия: "Справочная математическая библиотека"/ Под ред. С.Г.Креина;М.: Наука, 1972. 544 с.
  20. Гельфанд, И.М., Шилов, Г.Е. Обобщённые функции и действия над ними, вып.1, М.: Физматлит; 1959.
  21. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука; 1971.
  22. Титчмарш, Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.; Л.: ГИТТЛ; 1948.
  23. Ivanov, B.F. Analog of an inequality of Bohr for integrals of functions from L^p(R^n). I.Проблемыанализа, 2014, т.3(21), №2, с.32-51.
  24. Ivanov, B.F. Analog of an inequality of Bohr for integrals of functions from L^p(R^n). I.Проблемыанализа, 2014, т.3(21), №1, с.16-34.}
  25. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.
  26. Хартман, Ф.Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пер. с англ. И. Х. Сабитова и Ю. В. Егорова. / Под ред. В. М. Алексеева. М.: Мир 1970.

Полный текст (pdf)