English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Состояния равновесия и смежные вопросы теории плоских полиномиальных векторных полей

Автор(ы):

Вячеслав Бесланович Тлячев

заведующий кафедрой теоретической физики инженерно-физического факультета
Адыгейского государственного университета
Россия, 385000, г. Майкоп, ул. Первомайская, дом 208;
доцент, д.ф.-м.н.

stvb2006@rambler.ru

Адам Дамирович Ушхо

доцент кафедры теоретической физики инженерно-физического факультета
Адыгейского государственного университета;
Россия, 385000, г. Майкоп, ул. Первомайская, дом 208
доцент, к.ф.-м.н.

uschho76@rambler.ru

Дамир Салихович Ушхо

доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики
факультета математики и компьютерных наук
Адыгейского государственного университета
Россия, 385000, г. Майкоп, ул. Первомайская, дом 208
доцент, к.ф.-м.н.

damirubych@mail.ru

Аннотация:

Доказаны общие теоремы о состояниях равновесия автономных динамических систем, правые части которых представляют собой полиномы n-ой степени. В частности, показано, что если система, правые части которой суть взаимно простые многочлены, имеет установленное число состояний равновесия, то все они простые. Причем, когда выполняются определенные условия для соотношений между правыми частями системы, индекс Пуанкаре любого состояния равновесия на единицу меньше степени многочлена n. Рассмотрены условия отсутствия предельных циклов кубической системы, имеющей особые точки типа «центр». С помощью канонической формы кубической системы, имеющей максимальное число состояний равновесия, определены индексы Пуанкаре, позволяющие судить об их типах. Приведены примеры, подтверждающие выдвинутые утверждения.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. Изд. 2. Москва, URSS, 2003. 208 с
  2. Понтрягин Л. С. Дифференциальные уравнения и их приложения. Москва, URSS, 2018. 208 с
  3. Baker G. Differential Equations as Models in Science and Engineering. Singapore, World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 2016. 392 p
  4. Meiss J. D. Differential Dynamical Systems. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia Publisher, 2017. 392 p
  5. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. Москва, Наука, 1966. 568 с
  6. Уокер Р. Алгебраические кривые. Москва, Изд-во иностранной литературы, 1952. 236 с
  7. Ушхо Д. С. Прямые изоклины и канонические формы полиномиальных дифференциальных систем на плоскости. Майкоп, Изд-во АГУ, 2007. 93 с
  8. Ушхо Д. С. Новое доказательство теоремы об оценке числа особых точек второй группы кубической дифференциальной системы. Вестник АГУ. Сер. Естественно-математические и технические науки, 2007, №4 (28). С. 14-19
  9. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. Москва, Физматгиз, 1961. 263 с
  10. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Москва, Ленинград, ОГИЗ, ГИТЛ, 1947. 392 с
  11. Берлинский А. Н. О поведении интегральных кривых одного дифференциального уравнения. Известия высших учебных заведений. Сер. Математика, 1960, №15. С. 3-18
  12. Тун-Цзинь-Чжу. Расположение предельных циклов системы dx/dt=X2(x, y), dy/dt=Y2(x, y). Периодический сборник переводов иностранных статей: Математика, 1962, том 6, № 6. С. 150-168
  13. Амелькин В. В., Лукашевич Н. А., Садовский А. П. Нелинейные колебания в системах второго порядка. Минск, Изд-во БГУ, 1982. 208 с
  14. Лукашевич Н. А. Интегральные кривые одного дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения, 1965, том 1, № 1. С. 82-95
  15. Долов М. В. О предельных циклах в случае центра. Дифференциальные уравнения, 1972, том 8, №9. С. 1691-1692
  16. Ушхо Д. С. О сосуществовании предельных циклов и особых точек типа < < центр> > кубических дифференциальных систем. Дифференциальные уравнения, 1995, том 31, № 1. С. 173-174
  17. Тлячев В. Б., Ушхо А. Д., Ушхо Д. С. Оси симметрии полиномиальных дифференциальных систем на плоскости. Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2010, том 10, вып. 2. С. 41-49
  18. Тлячев В. Б., Ушхо А. Д., Ушхо Д. С. Полиномиальные векторные поля на плоскости. Избранные вопросы. Майкоп, Изд-во АГУ, 2012. 326 с
  19. Ушхо Д. С. О числе особых точек второй группы кубической системы. Дифференциальные уравнения, 1993, том 29, №2. С. 240-245
  20. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. Москва, Наука, 1967. 488 с
  21. Тлячев В. Б., Ушхо А. Д., Ушхо Д. С. К вопросу о прямых изоклинах полиномиальных дифференциальных систем на плоскости. Вестник Нижегородского ун-та им. Н. И. Лобачевского, 2010, №1. С. 156-162
  22. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры. Москва, Наука, 1968. 912 с

Полный текст (pdf)