Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

Гибридная схема для численного решения нелинейного уравнения эйлера

Автор(ы):

Юрий Александрович Костиков

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),
заведующий кафедрой 812,
кандидат физико-математических наук

jkostikov@mail.ru

Александр Михайлович Романенков

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),
доцент кафедры 812,
кандидат технических наук

romanaleks@gmail.com

Аннотация:

В работе рассматривается гибридная разностная схема для построения приближенного решения нелинейной системы дифференциальных уравнений с разрывным начальным условием. В качестве модельной задачи использована система обыкновенных дифференциальных уравнений Эйлера, которая является консервативной на вещественной прямой. Для поиска приближенного решения использован комбинированный численный метод, в котором в качестве рабочих алгоритмов, между которыми происходит переключение, выбраны методы Лакса-Фридрихса и Лакса-Вендрофа. Переключения необходимы, так как метод более высокого порядка точности (метод Лакса-Вендрофа) приводит к появлению эффекта Гибса, который является нежелательным не физическим артефактом в численном решении. Поэтому в областях, где этот эффект проявляется, необходимо выполнить переключение метода. Авторами предложен критерий переключения. В системе программирования Matlab разработан скрипт, который реализует гибридную схему. Предлагаемый алгоритм оперирует векторными величинами и не использует конкретных выражений для координат рассматриваемых векторов. Это делает алгоритм независимым от конкретных уравнений системы и позволяет без существенных изменений применять его для других задач похожего вида. Продемонстрированы идеи, с помощью которых получены данные методы и указана область их применимости.

Ключевые слова

• гибридная схема
• задача Римана
• уравнение Эйлера

Ссылки:

1. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа. М. - Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950
2. Бондарев, А. Е. Применение методов научной визуализации для оптимизации вычислительных свойств конечно-разностных схем // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 79 (2006) 1-17
3. Бондарев, А., Бондаренко, А., Галактионов, В., Михайлова, Т., Рыжова, И. Разработка программного комплекса BURGERS2 для оптимизации и визуализации вычислительных свойств гибридных разностных схем // Научная визуализация, 1 (2013) 26-37
4. Лобанов, А. И., Петров, И. Б. Математическое моделирование нелинейных процессов: учебник для академического бакалавриата. М. : Юрайт, 2019
5. Демьянов, А. Ю., Чижиков, Д. В. Неявная гибридная монотонная разностная схема второго порядка точности // Исследовано в России (2003) 2484-2487
6. Лобанов, А. И., Миров, Ф. Х. Гибридная разностная схема с обобщенным условием аппроксимации. Анализ в пространстве неопределенных коэффициентов // Журнал вычислительной метаматематики и математической физики, 8 (2018) 1-10
7. Semi-implicit Hybrid Discrete H 𝑇 𝑁 Approximation of Thermal Radiative Transfer // arxiv. org. Available at: https://arxiv.org/pdf/2102.13021.pdf
8. Albertini, G., Elbanna, A., Kammer, D. S. A three-dimensional hybrid finite element - spectral boundary 3 integral method for modeling earthquakes in complex unbounded 4 domains // arxiv. org. Available at: https://arxiv.org/pdf/2102.08756.pdf
9. Лакс, П. Д. Гиперболические дифференциальные уравнения в частных производных. М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2010
10. Lax, P., Wendroff B. Systems of conservation laws // Communications on Pure and Applied Mathematics, 13 (1960) 217-237
11. LeVeque, R. J. Numerical Methods for Conservation Laws. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1992
12. Meister, A., Struckmeier, J. Hyperbolic Partial Differential Equations: Theory, Numerics and Applications. Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, 2002
13. Жуков, А. И. Метод Фурье в вычислительной математике. M. : Наука, 1992

Полный текст (pdf)