Метод Якоби-Пуассона построения первых интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Автор(ы):
Андрей Францевич Проневич
Гродненский государственный университет имени Янки Купалы,
230023, Республика Беларусь, г. Гродно, ул. Ожешко 22
Проректор по научной работе
доцент, кандидат физико-математических наук
pranevich@grsu.by
Аннотация:
Для гамильтоновой дифференциальной системы разработан метод Якоби-Пуассона построения первых интегралов на основании интегральных многообразий этой системы. Доказана теорема о существовании первого интеграла гамильтоновой системы
в форме скобок Пуассона от известных интегральных многообразий этой системы. Приведено положение о нахождении дополнительного первого интеграла гамильтоновой системы на основании известных первого интеграла и интегрального многообразия.
В случае, когда гамильтонова система является полиномиальной использовано понятие частного интеграла, а полученные результаты конкретизированы.
Предложен метод Якоби-Пуассона построения первых интегралов в форме скобок Пуассона от интегральных характеристик (интегральные многообразия, частные и первые интегралы) для нормальной обыкновенной дифференциальной системы.
Получены утверждения о нахождении первых интегралов нормальной обыкновенной дифференциальной системы по интегральным характеристикам вспомогательной гамильтоновой системы, указана обобщенная теорема Пуассона о построении первых интегралов, а также исследован вопрос о наличии частных и первых интегралов в форме скобок Пуассона для обыкновенной полиномиальной дифференциальной системы.
Полученные в работе результаты могут быть использованы в аналитической теории дифференциальных уравнений и в аналитической механике.
Ключевые слова
- гамильтонова система
- интегральное многообразие
- обыкновенная дифференциальная система
- первый интеграл
- скобка Пуассона
- теорема Якоби-Пуассона
- частный интеграл
Ссылки:
- Горбузов В. Н. Интегралы дифференциальных систем. - Гродно: ГрГУ, 2006. - 447 с
- Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. - Ижевск: Изд-во Удмуртского ун-та, 1995. - 432 с
- Goriely A. Integrability and nonintegrability of dynamical systems. - World Scientific: Advanced series on nonlinear dynamics, 2001. - Vol. 19. - 436 p
- Борисов А. В., Мамаев И. С. Современные методы теории интегрируемых систем. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 296 с
- Проневич А. Ф. R-дифференцируемые интегралы систем в полных дифференциалах. - Saarbruchen: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. - 104 c
- Zhang X. Integrability of dynamical systems: algebra and analysis. - Singapore: Springer, 2017. - 380 p
- Якоби К. Лекции по динамике. - Л. -М. : Главная редакция общетехнической литературы, 1936. - 272 c
- Арнольд В. И. Математические методы классической механики. - М. : Наука, 1974. - 432 с
- Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. - М. : Наука, 1966. - 300 с
- Pranevich A. F. On Poisson’s theorem of building first integrals for ordinary differential systems // Rus. J. Nonlin. Dyn. - 2019. - Vol. 15, No. 1. - P. 87-96
- Проневич А. Ф. Частные интегралы обобщенно-консервативных полиномиальных гамильтоновых обыкновенных дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2022. - № 1. - С. 1-63
- Pranevich A. F. The generalized Jacobi-Poisson theorem of building first integrals for Hamiltonian systems // Qualitative Theory of Differential Equations: proceedings of International Workshop QUALITDE [Editorial board I. Kiguradze, R. P. Agarwal, R. Hakl at alias]. - Tbilisi, 2018. - P. 147-149
- Аппель П. Теоретическая механика: в 2 т. - М. : Гос. из-во физ. -мат. лит., 1960. - Т. 2: Динамика системы. Аналитическая механика. - 486 с
- Шульгин М. Ф. О некоторых дифференциальных уравнениях аналитической динамики и их интегрировании. - Ташкент: САГУ, 1958. - 184 с
- Проневич А. Ф. Теорема Пуассона построения стационарных интегралов автономных систем уравнений в полных дифференциалах // Проблемы физики, математики и техники. - 2016. - № 3. - С. 52-57
