English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Инвариантные торы периодических систем с девятью особенностями в гамильтоновой невозмущенной части

Автор(ы):

Владимир Владимирович Басов

Санкт-Петербургский государственный университет,
кафедра дифференциальных уравнений, доцент

vlvlbasov@rambler.ru

Артем Сергеевич Жуков

Лаборатория Непрерывного Математического Образования,
старший методист

Аннотация:

В данной работе исследуется семейство Т-периодических систем ОДУ с малым параметром е>0. Невозмущенная часть каждой системы порождена Гамильтонианом определенного вида, зависящим дополнительно от положительного, не превосходящего единицы параметра, и имеет девять нулей. Возмущения — вещественно-аналитические функции. Для любого нуля гамильтониана в явном виде выписаны условия на не зависящее от параметра возмущение, при выполнении которых удается конструктивно выделить наборы начальных данных для решений задач Коши невозмущенной системы, параметризующих так называемые порождающие циклы. Доказано, что в малой по е-окрестности цилиндрической поверхности, образующей которой является порождающий цикл, любая система из исследуемого семейства исходная (возмущенная) система при любых малых значениях параметра имеет двупериодическую инвариантную поверхность, гомеоморфную тору, если факторизовать время по периоду. Приведены формула и асимптотическое разложение этой поверхности, установлен ряд ее свойств. Построен оригинальный пример семейства систем как с "быстрым", так и с "медленным" временем, у которых среднее по t значение независящего от параметра возмущения является многочленом третьего порядка с тремя слагаемыми и которые, как установлено, сохранили одиннадцать инвариантных торов. Перечисленные результаты получены при помощи так называемым методом выделения порождающих торов (метод ВПТ). Достаточно подробное описание алгоритма метода ВПТ, подкрепленное демонстрацией его применения, является второй целью предлагаемой работы. Разработанный метод поиска сохраняющихся при любых малых значения параметра инвариантных торов универсален, поскольку может применяться к системам с невозмущенной частью, порожденной любым полиномиальным гамильтонианом, у которого, конечно, можно найти особые точки и сепаратрисы. Метод ВПТ, в частности, является альтернативой так называемым методам поисковых функций и функций Мельникова. Последние применяются для решения ослабленной XVI проблемы Гильберта по оценке снизу числа предельных циклов, но только к автономным системам с гамильтоновой невозмущенной частью. Таким образом, метод ВПТ позволяет оценивать снизу аналог числа Гильберта, указывающий количество инвариантных торов в периодических двумерных системах с "быстрым" и "медленным" временем и различными гамильтоновыми невозмущенными частями. Метод применяется также для исследования периодических систем любого четного порядка с общим множителем e в правой части. Именно к таким системам сводятся системы уравнений второго порядка, описывающие колебания слабо"-связанных осцилляторов.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Арнольд В. И. Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонанса и версальные деформации эквивариантных векторных полей // Функциональный анализ и его прил., 11 (1977), вып. 2, 1-10
  2. Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения // Собр. соч. Т. 2, АН СССР, М. -Л. (1956), 272-331
  3. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М. : Наука, 1979, 432 с
  4. Бибиков Ю. Н. Локальные проблемы теории многочастотных нелинейных колебаний, СПб: С. -Петерб. ун-т, 2003, 169 с
  5. Hale J. K., Integral Manifolds of Perturbed Differential Systems, Annals of Mathematics Second Series, 73:3 (1961), 496-531
  6. Li J., Huang Q., Bifurcations of limit cycles forming compound eyes in the cubic system, Chin. Ann. Math, B8 (1987), 391-403
  7. Басов В. В. Инвариантные поверхности стандартных двумерных систем с кон-сервативным первым приближением третьего порядка // Дифференц. уравнения, 44 (2008), вып. 1, 3-18
  8. Басов В. В. Инвариантные поверхности двумерных периодических систем с бифурцирующей точкой покоя в первом приближении // Современная математика и ее приложения (Труды МК по динамическим системам и дифф. уравнениям. Суздаль 5-10 июля 2004 г. ), 38 (2006), вып. 3, 10-27
  9. Басов В. В., Жуков А. С. Инвариантные поверхности периодических систем с консервативным кубическим первым приближением // Вестн. С. -Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия, 6(64) (2019), вып. 3, 376-393
  10. Басов В. В., Жуков А. С. Инвариантные поверхности стандартных двумерных систем с девятью точками покоя в первом приближении // Дифференц. уравнения и процессы управления, (2017), вып. 3, 1-37
  11. Бибиков Ю. Н. Бифуркация рождения инвариантных торов с бесконечно малой частотой // Алгебра и анализ, 10 (1998), вып. 2, 81-92
  12. Li J., Hilbert's 16th problem and bifurcations of planar polynomial vector fields, International Journal of Bifurcation and Chaos, 13:1 (2003), 47-106
  13. Dumortier F., Li C., Perturbation from an elliptic Hamiltonian of degree four - IV figure eight-loop, Diff Equat, 188 (2003), 512-554
  14. Iliev I. D. Li C. Yu J., On the cubic perturbations of the symmetric 8-loop Hamiltonian, (2019); arXiv:1909. 09840v1
  15. Li C., Liu C., Yang J., A cubic system with thirteen limit cycles, Journal of Differential Equations, 246 (2009), 3609-3619
  16. Басов В. В. Бифуркация положения равновесия в критическом случае двух пар нулевых корней характеристического уравнения // Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Тр. МИАН, 236, М. : Наука (2002), 45-60
  17. Басов В. В. Бифуркация положения равновесия в системах с нулевыми корнями характеристического уравнения // Матем. заметки, 75 (2004), вып. 3, 323—341
  18. Басов В. В. Бифуркация инвариантного тора коразмерности единица // Матем. заметки, 69 (2001), вып. \, 1, 3-17;
  19. Xiuli C., New lower bound for the number of critical periods for planar polynomial systems, Journal of Differential Equations, 271 (2021), 480-498
  20. Варченко А. Н. Оценка числа нулей абелева интеграла, зависящего от параметра, и предельные циклы // Функц. анализ и его прил., 18 (1984), вып. 2, 14-25
  21. Ильяшенко Ю. С. Теоремы конечности для предельных циклов // УМН, 45 (1990), вып. 2 (272), 143-200
  22. Мельников В. К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях // Тр. ММО, 12 (1963), 3-52
  23. Guckenheimer J., Holmes P., Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, Springer-Verlag (1983)
  24. Iliev I. D., Perko L., Higher order bifurcations of limit cycles, Diff Equat, 154 (1999), 339-363
  25. Wei L., Tian Y., Xu Y., The Number of Limit Cycles Bifurcating from an Elementary Centre of Hamiltonian Differential Systems, Mathematics, 10 (2022), 1483-1496
  26. Wei M., Cai J., Zhu H. Poincare Bifurcation of Limit Cycles from a Lienard System with a Homoclinic Loop Passing through a Nilpotent Saddle, Discrete Dynamics in Nature and Society, 2019 (2019), 1-12
  27. Wei L., Zhang Q., Zhang X., On limit cycles near two centres and a double homoclinic loop in Lienard differential system, Journal of Differential Equations, 300 (2021), 226-251
  28. Shi H., Liu C., Xiong Y., Study on limit cycles near homoclinic loops and heteroclinic loops with hyperbolic saddles, Journal of Differential Equations, 421 (2025), 50-72
  29. Francois J. -P., He H., Xiao D., The number of limit cycles bifurcating from the period annulus of quasi-homogeneous Hamiltonian systems at any order, Journal of Differential Equations, 276 (2021), 318-341
  30. Han M. -A., Bifurcations of invariant tori and subharmonic solutions for periodic perturbed systems, Sci. China Ser. A, 37:11 (1994), 1325-1336
  31. Christopher C. J., Lloyd N. G., Polynomial systems: A lower bound for the Hilbert numbers, Proc. Royal Soc. London Ser., A450 (1995), 219-224
  32. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополни-тельными главами анализа, М. : Наука, 1981, 384 c
  33. Зорич В. А. Математический анализ, Т. 2, М. : Наука, 1984, 640 с
  34. Chow S. -N., Hale J. K., Methods of bifurcation theory, N. Y., Springer-Verlag, (1982), 515p
  35. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в класси-ческой и небесной механике // УМН. 18 (1963), вып. 6, 91-192

Полный текст (pdf)