В. Ф. Зайцев
Санкт-Петербургский государственный университет, Россия
А. В. Флегонтов
Санкт-Петербургский институт информатики и
автоматизации РАН, Россия
Симметрия является фундаменталъным свойством любого явления или процесса. В равной степени это касается и модели-уравнения, описы- вающего это явление или процесс. Симметрийные методы исследования эффективны практически для всех типов уравнений - от алгебраических до интегро-дифференциалъных. Основными задачами практического груп- пового анализа дифференциалъных уравнений являются: разработка регулярных (алгоритмических) методов поиска всех видов симметрии уравнений; решение обратных задач - поиск классов уравнений (или, что то же самое - классов моделей), обладающих априорной симметрией заданного вида и другими априорными свойствами; установление общих принципов исполъзования найденных симметрий в практических задачах. Если обратная задача ставится для касателъных групп или операторов Ли-Беклунда, то прогнозируется вид вспомогателъного уравнения (как правило, уравнения с частными производными) - его порядок и степенъ нелинейности. Решение этого вспомогателъного уравнения дает общий вид правой части обыкновенного дифференциалъного уравнения, допуска- ющего заданный оператор, что позволяет выбиратъ среди множества возможных моделей те, которые обладают требуемой априорной симмет- рией. Компъютерный банк моделей позволяет выделятъ моделъ из мно- жества допустимых с учетом априорной информации: законов сохранения, принципа подвижного равновесия, качественных характеристик поведения системы и др. Моделъные классы обьединяют на групповых принципах уравнения линейной и нелинейной механики и математической физики, а также их новые точные решения. Дополнителъная информация по первым интегралам, симметриям, инвариантам, групповым структурам и др. обеспечивает разнообразный поиск и анализ математических моделей в аналитическом виде.