English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Развитие концепции топологической энтропии для систем с многомерным временем

Автор(ы):

Михаил Михайлович Аникушин

Санкт-Петербургский государственный университет,
Математико-механический факультет
198504, Россия, Санкт-Петербург, Петергоф,
Университетский пр., д. 28
Студент

Фолькер Райтманн

198516, СПб, Петергоф, ул. Разводная д.35 кв.79
Санкт-Петербургский государственный университет
профессор кафедры прикладной кибернетики
профессор, д.ф-м.н.

vreitmann@aol.com

Аннотация:

В работе исследуется топологическая энтропия для динамических систем с дискретным или непрерывным многомерным временем. На основании анализа полученного обобщения известного одномерного по времени результата делается вывод о том, что определение топологической энтропии, представленное в работах по системам подсдвигов, приводит к нулевому значению энтропии для многих систем с многомерным временем. Для того, чтобы обойти это явление, в работе предлагается понятие относительной топологической энтропии. Доказанный в работе многомерный аналог степенного правила Боуэна позволяет определить топологическую энтропию для систем с непрерывным многомерным временем. В качестве приложения построенной теории устанавливается связь между относительной топологической энтропией и управляемостью линейной системы с непрерывным многомерным временем.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Бойченко В. А., Леонов Г. А. Прямой метод Ляпунова в оценках топологической энтропии, Записки научных семинаров ПОМИ, 1995, том 231, стр. 62-75
  2. Гайшун И. В., Кириллова, Ф. М. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения, Изд-во Наука и Техника, 1983
  3. Колмогоров А. Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега, ДАН СССР, 1958, том 119, вып. 5, стр. 861-864
  4. Лакштанов Е. Л., Лангваген Е. С. Критерий бесконечности топологической энтропии многомерных клеточных автоматов, Проблемы передачи информации, 2004, том 40, вып. 2, стр. 70-72
  5. Лакштанов Е. Л., Лангваген Е. С. Энтропия многомерных клеточных автоматов, Проблемы передачи информации, 2006, том 42, вып. 1, стр. 43-51
  6. Синай Я. Г. О понятии энтропии динамической системы, ДАН СССР, 1959, том 124, вып. 4, стр. 768-771
  7. Синай Я. Г. Современные проблемы эргодической теории, М. : Физматлит., 1995
  8. Adler, R. L., Konheim, A. G., McAndrew, M. H. Topological entropy, Trans. Amer. Math. Soc. , 1965, том 114, вып. 2, стр. 309-319
  9. Anosov, D. V. Geodesic flows on closed Riemannian manifolds of negative curvature, Trudy Mat. Inst. Steklov. , 1967, том 90, стр. 3-210
  10. Boichenko, V. A., Leonov, G. A., Reitmann, V. Dimension Theory for Ordinary Differential Equations, Teubner Wiesbaden, 2005
  11. Bowen, R. Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces, Trans. Amer. Math. Soc. , 1971, том 153, вып. 2, стр. 401-414
  12. Ito, S. An estimate from above for the entropy and the topological entropy of a C1-diffeomorphism, Proc. Japan Acad. , 1970, том 46, вып. 3, стр. 226-230
  13. Kuznetsov, N. V. The Lyapunov dimension and its estimation via the Leonov method, Physics LettersA, 2016, том 380, вып. 25, стр. 2142-2149
  14. Kuznetsov, N. V., Alexeeva, T. A., Leonov, G. A. Invariance of Lyapunov exponents and Lyapunov dimension for regular and irregular linearizations, Nonlinear Dynamics, 2016, стр. 1-7 (http://dx.doi.org/10.1007/s11071-016-2678-4)
  15. Leonov, G. A. Formulas for the Lyapunov dimension of attractors of the generalized Lorenz system, Doklady Mathematics, 2013, том 87, вып. 3, стр. 264-268
  16. Leonov, G. A., Kuznetsov, N. V., Korzhemanova, N. A., Kusakin, D. V. Lyapunov dimension formula for the global attractor of the Lorenz system, Communications in Nonlinear Science and NumericalSimulation, 2016, http://dx.doi.org/10.1016/j.cnsns.2016.04.032
  17. Leonov, G. A., Alexeeva, T. A., Kuznetsov, N. V. Analytic exact upper bound for the Lyapunov dimension of the Shimizu-Morioka system, Entropy, 2015, том 17, вып. 7, стр. 5101-5116
  18. Lind, D., Schmidt, K. Symbolic and algebraic dynamical systems, in book: Handbook of DynamicalSystems, 2002, том 1, стр. 765-812
  19. Millionshchikov, V. M. A formula for the entropy of a smooth dynamical system Differentsial'nyeUravneniya, 1976, том 12, стр. 2188-2192
  20. Newhouse, S. E. Entropy and volume, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 1988, том 8, вып. 8, стр. 283-299
  21. Oseledets, V. I. A multiplicative ergodic theorem: Lyapunov characteristic exponents for dynamical systems, Trudy Moskovskogo Matematicheskogo Obshchestva, 1968, том 19, стр. 179-210. 22. Pesin, Y. B. Dimension theory in dynamical systems: contemporary views and applications, University of Chicago Press, 2008
  22. Schmidt, K. Multi-dimensional symbolic dynamical systems, in book: Codes, Systems, and GraphicalModels, Springer, 2001, стр. 67-82
  23. Sun, H. Topological entropy of linear systems and its application to optimal control, Master's Thesis, Hong Kong University of Science and Technology, 2008
  24. Udriste, C. Multitime controllability, observability and bang-bang principle, J. Optim. Theory Appl. , 2008, том 139, вып. 1, стр. 141-157

Полный текст (pdf)