English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Повторные стохастические интегралы Ито и Стратоновича: разложения Фурье-Лежандра и тригонометрические разложения, аппроксимации, формулы

Автор(ы):

Дмитрий Феликсович Кузнецов

Санкт-Петербургский Политехнический Университет Петра Великого
Россия, 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29
кафедра "Высшая Математика"
Профессор
доктор физико-математических наук

sde_kuznetsov@inbox.ru

Аннотация:

В данной книге систематически изучена проблема сильной (средне-квадратической) аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича в контексте численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений Ито. В представленной монографии успешно используется аппарат кратных и повторных рядов Фурье, построенных в пространстве L2 и поточечно, для сильной аппроксимации повторных стохастических интегралов и открывается новое направление в исследовании повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича. Получен общий результат, связанный с разложением повторного стохастического интеграла Ито любой фиксированной кратности k, основанный на обобщенном кратном ряде Фурье, сходящемся в пространстве L2([t, T] x ... x [t, T]) (k - раз). Этот результат адаптирован для повторных стохастических интегралов Стратоновича 1-4 кратности для системы полиномов Лежандра и системы тригонометрических функций, а также для других типов повторных стохастических интегралов. Доказана теорема о разложении повторного стохастического интеграла Стратоновича любой фиксированной кратности k, основанном на обобщенном итеративном ряде Фурье, сходящемся поточечно. Получены точные выражения для среднеквадратических погрешностей аппроксимации повторных стохастических Интегралов Ито 1-4 кратностей. Представлен существенный практический материал посвященный аппроксимации специальных повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича 1-5 кратностей с использованием системы полиномов Лежандра и системы тригонометрических функций. Произведено сравнение методов, сформулированных в монографии, с существующими методами. Получены некоторые слабые аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито. Доказаны теоремы о замене порядка интегрирования для повторных стохастических интегралов Ито и для повторных стохастических интегралов по мартингалам и мартингальным пуассоновским мерам. Получены два семейства аналитических выражений для вычисления стохастических интегралов. Книга будет интересной для специалистов в области теории случайных процессов, прикладной и вычислительной математики, а также для студентов старших курсов и аспирантов университетов и технических институтов.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Gikhman, I. I., Skhorokhod A. V. Introduction to Theory of Stochasic Processes. (In Russian). Moscow, Nauka Publ., 1977. 660 p
  2. Gikhman, I. I., Skhorokhod A. V. Stochastic Differential Equations. (In Russian). Kiev, Naukova Dumka Publ., 1968. 354 p
  3. Gikhman, I. I., Skhorokhod A. V. Theory of Stochastic Processes. Vol. 3. (In Russian). Moscow, Nauka Publ., 1975. 469 p
  4. Gikhman I. I., Skhorokhod A. V. Stochastic Differential Equations and its Applications. (In Russian). Kiev, Naukova Dumka Publ., 1982 , 612 p
  5. Koroluk V. S., Portenko N. I., Skhorokhod A. V., Turbin A. F. Reference Book on Probability Theory and Mathematical Statistics. (In Russian). Moscow, Nauka Publ., 1985. 640 p
  6. Ermakov S. M., Mikhailov G. A. Course on Statistic Modeling. (In Russian). Moscow, Nauka Publ., 1976. 320 p
  7. Shiraev A. N. Foundations of Stochastic Finantial Mathematics. Vol. 2. (In Russian). Moscow, Fazis Publ., 1998. 544 p
  8. Merton R. C. Option pricing when underlying stock returns and discontinuous. J. Financial Economics. 3 (1976), 125-144
  9. Merton R. C. Continuous-Time Finance. Oxford, N. Y., Blackwell Publ., 1990. 453 p
  10. Hull J. Options, Futures and other Derivatives Securities. N. Y., J. Willey and Sons Publ., 1993. 368 p
  11. Bachelier L. Theorie de la speculation. Ann. Sci. Ecol. Norm. Sup. Ser. 3. 17 (1900), 21-86
  12. Arato M. Linear Stochastic Systems with Constant Coefficients. A Statistical Approach. Berlin, Heidelberg, N. Y., Springer-Verlag Publ., 1982. 289 p
  13. Orlov A. Service of Breadth. (In Russian). Moscow, Akad. Nauk. SSSR Publ., 1958. 126 p
  14. Lotka A. J. Undamped oscillations derived from the law of mass action. J. Amer. Chem. Soc. 42: 8 (1920), 1595-1599
  15. Volterra V. Mathematical Theory of Figth for Existence. (In Russian). Moscow, Nauka Publ., 1976. 286 p
  16. Zhabotinskiy A. M. Concentrations Self-Oscillations. (In Russian). Moscow, Nauka Publ., 1974. 178 p
  17. Romanovskiy Yu. M., Stepanova N. V., Chernavskiy D. S. Mathematical Biophisics. (In Russian). Moscow, Nauka Publ., 1984. 304 p
  18. Obuhov A. M. Description of turbulence in Lagrangian variables. Adv. Geophis. (In Russian). 3 (1959), 113-115
  19. Wolf J. R. Neue Untersuchungen uber die Periode der Sonnenflecken und ihre Bedeutung. Mit. Naturforsch. Ges. Bern. 255, (1852), 249-270
  20. Sluzkiy E. E. On 11-years periodicity of Sun spots. Dokl. Akad. Nauk SSSR. (In Russian). 4: 9, 1-2 (1935), 35-38
  21. Watanabe S., Ikeda N. : Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes. (In Russian). Moscow, Nauka Publ., 1986. 445 p
  22. Kloeden P. E., Platen E. The Stratonovich and Ito-Taylor expansions. Math. Nachr. 151 (1991), 33-50
  23. Milstein G. N. Numerical Integration of Stochastic Differential Equations. (In Russian). Sverdlovsk, Ural University Publ., 1988. 224 p
  24. Kloeden P. E., Platen E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Berlin, Springer-Verlag Publ., 1992. 632 p
  25. Milstein G. N., Tretyakov M. V. Stochastic Numerics for Mathematical Physics. Berlin, Springer-Verlag Publ., 2004. 596 p
  26. Kloeden P. E., Platen E., Wright I. W. The approximation of multiple stochastic integrals. Stoch. Anal. Appl. 10: 4 (1992), 431-441
  27. Skhorokhod A. V. Stochastc Processes with Independent Increments. (In Russian). Moscow, Nauka Publ., 1964. 280 p
  28. Gobson E. V. Theory of Spherical and Ellipsoidal Functions. (In Russian). Moscow, IL Publ., 1952. 476 p
  29. Chung K. L., Williams R. J. Introduction to Stochastic Integration. Progress in Probability and Stochastics. Vol. 4, Ed. Huber P., Rosenblatt M. Boston, Basel, Stuttgart, Birkhauser Publ., 1983. 152 p
  30. Averina T. A., Artemjev S. S. New family of numerical methods for solution of stochastic differential equations. (In Russian). Dokl. Akad. Nauk SSSR. 288: 4 (1986), 777-780
  31. Kuznetsov D. F. Theorems about integration order replacement in multiple Ito stochastic integrals. (In Russian). VINITI. 3607-V97 (1997), 31 p
  32. Kuznetsov D. F. Some Problems of the Theory of Numerical Integration of Stochastic Differential Ito Equations. St. -Petersburg, Polytechnic University Publ., 1998. 203 p
  33. Kuznetsov D. F. Application of methods of approximation of multiple Stratonovich and Ito stochastic integrals to numerical modeling of controlled stochastic systems. (In Russian). Problems of Control and Informatics. 4 (1999), 91-108
  34. Kuznetsov D. F. Expansion of multiple Stratonovich integrals, based on multiple Fourier serieses. (In Russian). Zap. Nauchn. Sem. POMI Steklova V. A. 260 (1999), 164-185
  35. Kuznetsov D. F. On problem of numerical modeling of stochastic systems. (In Russian). Vestnik Molodyh Uchenyh. Prikl. Mat. Mech. 1 (1999), 20-32
  36. Kuznetsov D. F. Application of Legendre polynomials to mean-square approximation of solutions of stochastic differential equations. (In Russian). Problems of Control and Informatics. 5 (2000), 84-104
  37. Kuznetsov D. F. Numerical Modeling of Stochastic Differential Equations and Stochastic Integrals. (In Russian). St. -Petersburg, Nauka Publ., 1999. 460 p
  38. Kuznetsov D. F. Numerical Integration of Stochastic Differential Equations. (In Russian). St. -Petersburg, State University Publ., 2001. 712 p
  39. Kuznetsov D. F. New representations of explicit one-step numerical methods for stochastic differential equations with jump component. (In Russian). Journal of Computational Mathematics and Mathematical Phisics. 41: 6 (2001), 922-937
  40. Kuznetsov D. F. Multiple Stochastics Ito and Stratonovich Integrals and Multiple Fourier Serieses. (In Russian). Electronic Journal " Differential Equations and Control Processes". 2010, no. 3. Available at: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/kuznetsov_book.pdf
  41. Kuznetsov D. F. Combined method of strong approximation of multiple stochastic integrals. (In Russian). Problems of Control and Informatics. 4 (2002), 141-147
  42. Kuznetsov D. F. Numerical Integration of Stochastic Differential Equations. 2. (In Russian). St. -Petersburg, Polytechnic University Publ., 2006. 764 p
  43. Kuznetsov D. F. New representations of Taylor-Stratonovich expansion. (In Russian). Zap. Nauchn. Sem. POMI Steklova V. A. 278 (2001), 141-158
  44. Kuznetsov D. F. Stochastic Differential Equations: Theory and Practice of Numerical Solution. 4th edn. (In Russian). St. -Petersburg, Polytechnic University Publ., 2010. 816 p
  45. Kuznetsov D. F. A method of expansion and approximation of repeated stochastic Stratonovich integrals based on multiple Fourier series on full orthonormal systems. (In Russian). Electronic Journal " Differential Equations and Control Processes" . 1997, no. 1. Available at: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/j002.pdf
  46. Kulchitskiy O. Yu., Kuznetsov D. F. Unified Taylor-Ito expansion. (In Russian). Zap. Nauchn. Sem. POMI Steklova V. A. 244 (1997), 186-204
  47. Kulchitskiy O. Yu., Kuznetsov D. F. Approximation of multiple Ito stochastic integrals. (In Russian). VINITI. 1679-V94 (1994), 38 p
  48. Dmitriy Kuznetsov. Approximation of Multiple Ito and Stratonovich Stochastic Integrals. Multiple Fourier Series Approach. Saarbrucken, AV Akademikerverlag, 2012. 344 p
  49. Dmitriy Kuznetsov. Numerical Integration of Ito Stochastic Differential Equations. With MatLab Programms. (In Russian). Saarbrucken, AV Akademikerverlag, 2012. 692 p
  50. Dynkin E. B. Markov's Processes. (In Russian). Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963. 860 p
  51. Kamke E. Reference Book on Ordinary Differential Equations. Vol. 1. (In Russian). Moscow, Nauka Publ., 1971. 576 p
  52. Stratonovich R. L. Conditional Markov's Processes and its Applications to the Theory of Optimal Control. (In Russian). Moscow, State University Publ., 1966. 320 p

Полный текст (pdf)