English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Как выглядят аттракторы нулей для классических полиномов Бернштейна

Автор(ы):

Иван Владимирович Тихонов

д.ф.-м.н.,
профессор кафедры математической физики
факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова.

ivtikh@mail.ru

Владимир Борисович Шерстюков

д.ф.-м.н.,
доцент кафедры высшей математики
НИЯУ «МИФИ».
115409, Москва, Каширское ш., д.31,
НИЯУ «МИФИ»,
кафедра высшей математики.

shervb73@gmail.com

Диана Горановна Цветкович

Московский Педагогический Государственный Университет.
107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14, МПГУ,
кафедра матем. анализа.

Аннотация:

Настоящее сообщение содержит материал, подготовленный к пленарному докладу на научной конференции «Герценовские чтения - 2017». Обсуждается вопрос о распределении нулей классических полиномов Бернштейна. Совокупность нулей рассматривается как дискретная динамическая система на комплексной плоскости. При фиксированном выборе порождающей функции вводится специальное отображение, сопоставляющее номеру полинома множество его нулей на плоскости. Изучение проводится компьютерными средствами. Основное внимание уделено эффекту существования аттрактора, к которому стягиваются почти все нули при неограниченном возрастании номера полинома Бернштейна. Установлен список из шести правил, позволяющих провести точное построение аттрактора нулей в случае кусочно линейной порождающей функции. Разобраны примеры и приведены иллюстрации. Сформулированы некоторые нерешенные проблемы. Намечены перспективные темы для дальнейших исследований. Изложение дополнено неформальными сведениями, имеющими отношение к происходящему.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Новиков И. Я. Асимптотика корней полиномов Бернштейна, используемых в построении модифицированных всплесков Добеши // Матем. заметки. 2002. Т. 71. Вып. 2. С. 239-253
  2. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Цветкович Д. Г. Задача о нулях полиномов Бернштейна на модельном примере симметричного модуля // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 18-й междунар. Сарат. зимней школы. Саратов: ООО Издательство «Научная книга», 2016. С. 271-275
  3. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Цветкович Д. Г. Специальные задачи для полиномов Бернштейна в комплексной области // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения - 2016. Материалы научной конференции, 11-15 апреля 2016 г. СПб: Изд. РГПУ им. А. И. Герцена, 2016. С. 139-145
  4. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Цветкович Д. Г. Компьютерная классификация аттракторов для нулей полиномов Бернштейна // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы XVII международной научной конференции. Выпуск 17. Смоленск: СмолГУ, 2016. С. 224-227
  5. Duren P., Herbig A. -K., Khavinson D. Robert Jentzsch, mathematician and poet // The Mathematical Intelligencer. 2008. Vol. 30. Issue 3. P. 18-24
  6. Jentzsch R. Untersuchungen zur Theorie der Folgen analytischer Funktionen // Acta Math. 1918. Vol. 41. P. 219-251
  7. Монтель П. Нормальные семейства аналитических функций. М. -Л. : ОНТИ НКТП СССР, 1936. 240 с
  8. Титчмарш Е. Теория функций. М. : Наука, 1980. 463 с
  9. Rahman Q. I., Schmeisser G. Analytic Theory of Polynomials. Oxford: Clarendon Press, 2002. xiv+742 p
  10. Izumi S. On the Distribution of the Zero Points of Sections of a Power Series // Japanese Journal of Math. 1927. Vol. 4. P. 29-32
  11. Коробейник Ю. Ф. О некоторых свойствах функциональных рядов // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15. Вып. 4. С. 149-156
  12. Лебедева Е. А. Об одном обобщении теоремы Р. Йенча // Матем. заметки. 2010. Т. 88. Вып. 5. С. 753-758
  13. Бернштейн С. Н. D´ emonstration du th´ eor`eme de Weierstrass fond´ ee sur la calcul des probabilit´ es // Сообщенiя Харьковскаго Математическаго Общества. 1912. Т. 13. № 1. С. 1-2
  14. Lorentz G. G. Bernstein Polynomials. Toronto: Univ. of Toronto Press, 1953. x+130 p
  15. Виденский В. С. Многочлены Бернштейна. Учебное пособие к спецкурсу. Л. : ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1990. 64 с
  16. Bustamante J. Bernstein Operators and Their Properties. Birkhä user, 2017. xii+420 p
  17. Канторович Л. В. О сходимости последовательности полиномов С. Н. Бернштейна за пределами основного интервала // Известия АН СССР. Сер. VII. Отделение матем. и естеств. наук. 1931. № 8. С. 1103-1115
  18. Бернштейн С. Н. О сходимости многочленов в комплексной области // Известия АН СССР. Сер. матем. 1943. Т. 7. № 2. С. 49-88
  19. Виденский В. С. Работы Л. В. Канторовича о полиномах С. Н. Бернштейна // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2. С. 50-53
  20. Gal S. G. Approximation by Complex Bernstein and Convolution Type Operators. (Series on Concrete and Applicable Mathematics. Vol. 8. ) New Jersey - London - Singapore: World Scientific, 2009. xii+338 p
  21. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Петросова М. А. Полиномы Бернштейна: старое и новое // Математический форум. Т. 8, ч. 1. Исследования по математическому анализу. - Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2014. С. 126-175

Полный текст (pdf)