English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. C программами в среде MATLAB

Автор(ы):

Дмитрий Феликсович Кузнецов

Санкт-Петербургский Политехнический Университет Петра Великого
Россия, 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29
кафедра "Высшая Математика"
Профессор
доктор физико-математических наук

sde_kuznetsov@inbox.ru

Аннотация:

Книга посвящена проблеме численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Подробно изучен случай СДУ Ито, а также кратко рассмотрены СДУ со скачкообразной компонентой. Хорошо известно, что СДУ являются адекватными математическими моделями динамических систем, находящихся под воздействием случайных возмущений. Одним из эффективных подходов к численному интегрированию СДУ Ито является подход, основанный на разложениях Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича. В предствленной книге данный подход изучен систематически. Монография состоит из 4 частей и 17 глав. Коснемся содержания монографии по главам. В главе 1 собран вспомогательный материал, который может быть полезен при чтении книги. Мы приводим концепции марковских процессов, стохастических интегралов Ито и Стратоновича, формулы Ито, СДУ Ито и СДУ со скачкообразной компонентой, стохастических интегралов по пуассоновским случайным мерам и по мартингалам. В главе 2 рассматриваются математические модели динамических систем различной физической природы, находящихся под влиянием случайных возмущений, на основе СДУ. В данной главе также рассмотрены некоторые задачи для СДУ. Рассмотрена задача фильтрации (линейная и нелинейная), задача о стохастической устойчивости, задача о стохастическом управлении, задача об оценке параметров стохастических систем, а также вероятностные представления задач Коши и Дирихле для уравнений в частных производных второго порядка. Глава 3 посвящена некоторым свойствам и формулам для стохастических интегралов. Выявлен класс повторных стохастических интегралов Ито, для которого справедливы с вероятностью 1 формулы замены порядка интегрирования, согласующиеся с правилами классического интегрального исчисления. Доказана теорема о замене порядка интегрирования для класса повторных стохастических интегралов Ито. Приведены примеры применения данной теоремы. Эти результаты обобщены на случай повторных стохастических интегралов по мартингалам. Доказана формула, связывающая повторные стохастические интегралы Ито и Стратоновича произвольной фиксированной кратности k. Выведено 2 семейства аналитических формул для вычисления стохастических интегралов по процессам Ито достаточно общего вида. В главе 4 обсуждаются стохастические разложения Тейлора. Мы рассматриваем классические разложения Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича, а также 4 новых (так называемых) унифицированных разложения Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича. Наиболее важной особенностью отмеченных разложений является присутствие в них повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича, которые играют ключевую роль для решения проблемы численного интегрирования СДУ Ито и СДУ со скачкообразной компонентой. Унифицированные разложения Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича строятся на основе теоремы о замене порядка интегрирования в повторных стохастических интегралах Ито (глава 3). Унифицированные разложения Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича содержат минимальные наборы повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича, которые не могут быть связаны линейными соотноешнеиями. Мы назвали эти наборы стохастическими базисами. Главы 5 и 6 посвящены сильной (среднеквадратической) аппроксимации наборов повторных стохатстических интегралов Ито и Стратоновича из разложений Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича. В главе 5 успешно применен аппарат кратных и повторных обобщенных рядов Фурье, построенных в пространстве L2 и поточечно, для сильной аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича. Нами получен общий результат, связанный с разложением повторных стохастических интегралов Ито любой фиксированной катности k, основанный на обощенных рядах Фурье, сходящихся в пространстве L2([t, T] x ... x [t, T]) (k-раз). Этот результат адаптирован для повторных стохастических интегралов Стратоновича 1-4 кратности для системы полиномов Лежандра и системы тригонометрических функций, а также для некоторых других типов повторных стохастических интегралов. Доказана терема о разложении повторных стохастических интегралов Стратоновича любой фиксированой кратности k, основанном на обобщенных повторных рядах Фурье, сходящихся поточечно. В главе 6 получены точные выражения среднеквадратических погрешностей аппроксимации для повторных стохастических интегралов Ито кратностей 1-5 в явной форме и для повторных стохастических интегралов Ито произвольной фиксированной кратности k в общей форме. Также получена оценка для этих погрешностей для интегралов любой фиксированной кратности k. Приведен существенный практический материал, посвященный аппроксиациии конкретных повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича кратностей 1-5 из разложений Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича с использованием системы полиномов Лежандра и системы тригонометрических функций. Произведено сравнение методов, представленных в данной книге, с другми существующими методами. Последний раздел главы 6 посвящен слабым аппроксимациям повторных стохастических интегралов Ито из разложения Тейлора-Ито. В главах 7-9 конструируются сильные численные методы для СДУ Ито. Глава 7 посвящена явным одношаговым численным методам порядков точности 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5 and 3.0. Рассмотрены конечно-разностные модификации типа Рнге-Кутта для некоторых из упомянутых методов. Новый шаг в данной научной области связан с применением методов аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича из глав 5 и 6, а также с использованием унифицированных разложений Тейлора-Ито и Тейлора-Стратоновича из главы 4. В главе 8 строятся неявные одношаговые сильные численные методы для СДУ Ито, а в главе 9 строятся явные и неявные двухшаговые и трехшаговые численные методы для СДУ Ито порядков точности 1.0, 1.5, 2.0 and 2.5. В главах 8 и 9 также представлены методы типа Рунге-Кутта для СДУ Ито. В главе 10 рассматриваются слабые численные методы для СДУ Ито. Большинство из них являются хорошо известными, однако мы строим несколько новых численных методов. В данной главе представлены явные, неявные и экстраполяционные методы, методы типа "предсказатель-корректор", а также методы типа Рунге-Кутта для СДУ Ито. Глава 11 посвящена численному интегрированию линейных стационарных систем СДУ Ито. Рассмотрен численный метод, основанный на интегральном представлении решения линейной стационарной системы СДУ Ито и спектральном разложении диффузионной матрицы. Исследован порядок точности данного метода. Во второй части 11 главы рассматриваются другие численные методы для линейных стационарных систем СДУ Ито: метод, основаный на аппроксимации винеровского процесса специальным кусочно-постоянным случайным процессом и метод, основанный на разложении Тейлора-Ито и полиномах Лежандра. В главе 12 рассматривается теория численного интегрирования СДУ со скачкообразной компонентой. Обсуждается хорошо известная концепция, согласно которой СДУ со скачкообразной компонентой рассматривается как СДУ Ито на временных интервалах между скачками процесса Пуассона. Этот подход позволяет раздельно моделировать скачкообразную и диффузионную компоненты решения СДУ со скачкообразной компонентой. Для численного моделирования диффузионной компонеты предлагается использовать методы из глав 5-10 настоящей монографии. В главе 13 приведена библиотека MATLAB-программ для численного интегрирования линейных стационарных систем СДУ Ито, основаная на алгоритмах главы 11. Рассмотрены численные примеры применения указанной библиотеки. В главах 14-16 путем численных экспериментов демонстрируется применение численных методов, построенных в монографии, к моделированию выборочных траекторий решений систем нелинейных СДУ Ито (глава 14) и к численному решению математических задач для СДУ Ито сильными (глава 15) и слабыми (глава 16) численными методами. Вперывые численное моделирование повторных стохастических интегралов Ито и Стратоновича реализовано с использованием системы полиномов Лежандра. Глава 17 содержит полные тексты MATLAB-программ, реализующих численные эксперименты по тексту книги в целом.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Boyce W. E. Approximate solution of random ordinary differential equations. Adv. in Appl. Probab. 10 (1978), 172-184
  2. Kushner H. J. Probubility methods for approximations in stochastic control and for elliptic equations. N. Y., San Francisco, London, Academic Press, 1977. 242 p
  3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть II. Москва, Наука, 1973. 448 c
  4. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. Москва, Наука, 1977. 660 с
  5. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев, Наукова думка, 1968. 354 с
  6. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 3. Москва, Наука, 1975. 469 с
  7. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев, Наукова думка, 1982. 612 с
  8. Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми приращениями. Москва, Наука, 1964. 280 с
  9. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. Москва, Наука, 1963. 860 с
  10. Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. Москва, Наука, 1985. 640 с
  11. Ширяев А. Н. Вероятность. Москва, Наука, 1989. 640 c
  12. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2. Москва, Фазис, 1998. 544 с
  13. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов: Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. Москва, Наука, 1974. 696 с
  14. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. Москва, Физматгиз, 1963. 284 с
  15. Стратонович Р. Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. Москва, Изд-во МГУ, 1966. 320 с
  16. Стратонович Р. Л., Полякова М. С. Элементы молекулярной физики, термодинамики и статистической физики. Москва, Изд-во МГУ, 1981. 176 с
  17. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. Москва, Советское радио, 1961. 556 c
  18. Hardy G. H., Rogosinski W. W. Fourier series. N. Y., Dover Publ., 1999. 112 p
  19. Hobson E. W. The theory of spherical and ellipsoidal harmonics. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1931. 502 p
  20. Толстов Г. П. Ряды Фурье. Москва-Ленинград, Гос. изд-во техн. -теор. лит., 1951. 396 с
  21. Chung K. L., Williams R. J. Introduction to Stochastic Integration. Progress in Probability and Stochastics. Vol. 4, Ed. Huber P., Rosenblatt M. Boston, Basel, Stuttgart, Birkhauser Publ., 1983. 152 p
  22. Рыжик И. М., Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд. 3-е. Москва-Ленинград, Гос. изд-во техн. -теор. лит., 1951. 464 с
  23. Камке E. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Т. 1. Москва, Наука, 1971. 576 p
  24. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Курс статистического моделирования. Москва, Наука, 1976. 320 с
  25. Friedman A. Partial differential equations of parabolic type. Englewood Cliffs, Prentice-Hall Publ., 1964. 347 p
  26. Smoluhovski M. V. Drei Vortrage uber Diffusion Brownsche Bewegung und Koagulation von Kolloidteilchen. Phys. Zeit. 17 (1916), 557-585
  27. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Москва, Наука, 1967. 736 с
  28. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Изд. 5-е. Москва, Наука, 1977. 735 с
  29. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. Москва, Наука, 1974. 431 с
  30. Gantmacher F. R. The theory of matrices. New York, Chelsea Publ., 1959. Vol. 1: 374 p., Vol. 2: 277 p
  31. Bjork T., Kabanov Yu., Runggaldier W. Bond market structure in the presence of marked point processes. Math. Finance. 7: 2 (1997), 211-239
  32. Hull J., White A. The pricing of options as assets with stochastic volatilities. J. Finance. 42 (1987), 281-300
  33. Merton R. C. Option pricing when underlying stock returns and discontinuous. J. Financial Economics. 3 (1976), 125-144
  34. Merton R. C. Continuous-time finance. Oxford; N. Y., Blackwell Publ., 1990. 453 p
  35. Hull J. Options, futures and other derivatives securities. N. Y., J. Willey and Sons Publ., 1993. 368 p
  36. Bachelier L. Theorie de la speculation. Ann. Sci. Ecol. Norm. Sup. Ser. 3. 17 (1900), 21-86
  37. Einstein A. Investigations on the theory of the Brownien movement. N. Y., Dover, 1956. 122 p
  38. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд. 5-е. Москва, Наука, 1982. 331 c
  39. Бахвалов Н. С. Численные методы. Москва, Физматгиз, 1973. 631 с
  40. Pontrjagin L. S., Andronov A. A., Witt A. A. Statistische Auffassung dynamischer Systeme. Phys. Zeit. 6: (1934), 1-24
  41. Van der Ziel A. Fluctuation phenomena in semi-conductors. London, Butterworths Scientific Publ., 1959, 168 p
  42. Nyquist H. Thermal agittation of electric charge in conductors. Phys. Rev. 32 (1928), 110-113
  43. Arato M. Linear Stochastic Systems with Constant Coefficients. A Statistical Approach. Berlin, Heidelberg, N. Y., Springer-Verlag Publ., 1982. 289 p
  44. Арато М., Колмогоров А. Н., Синай Я. Г. Об оценках параметров комплексного стационарного гауссовского марковского процесса. Докл. АН СССР. 146: 4 (1962), 747-750
  45. Орлов А. Служба Широты. Москва, Изд-во АН СССР, 1958. 126 с
  46. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. Москва, Наука, 1987. 424 с
  47. Lotka A. J. Undamped oscillations derived from the law of mass action. J. Amer. Chem. Soc. 42: 8 (1920), 1595-1599
  48. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. Москва, Наука, 1976. 286 с
  49. Белоусов Б. П. Периодически действующая реакция и ее механизм. Сб. рефератов по радиационноймедицине. Москва, Медгиз, 1959, 145-148
  50. Жаботинский А. М. Концентрационные автоколебания. Москва, Наука, 1974. 178 с
  51. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. Москва, Наука, 1984. 304 с
  52. Obuhov A. M. Description of turbulence in Lagrangian variables. Adv. Geophis. 3 (1959), 113-115
  53. Первозванский А. А. Рынок: Расчет и риск. Mосква, ИНФРА, 1994. 210 с
  54. Wolf J. R. Neue Untersuchungen uber die Periode der Sonnenflecken und ihre Bedeutung. Mit. Naturforsch. Ges. Bern. 255, (1852), 249-270
  55. Слуцкий Е. Е. О 11-летней периодичности солнечных пятен. Докл. АН СССР. 4: 9, 1-2 (1935), 35-38
  56. Henrici P. Discrete variable methods in ordinary differential equations. N. Y., Wiley Publ., 1962. 407 p
  57. Rossler O. E. An equation for continuous chaos. Phys. Lett. 57A (1976), 397-398
  58. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. Москва, Наука, 1969. 365 с
  59. Kushner H. J. Stochastic stability and control. N. Y., London, Academic Press, 1967. 162 p
  60. Баркин А. И., Зеленцовский А. Л., Пакшин П. В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления. Москва, Изд-во МАИ, 1992. 303 с
  61. Козин Ф. Введение в устойчивость стохастических систем. Автоматика. 5 (1969), 95-112
  62. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. Москва, Наука, 1987. 476 с
  63. Самарский А. А. Теория разностных схем. Изд. 3-е. Москва, Наука, 1989. 614 с
  64. Kac M. On distribution of certain Wiener functionals. Trans. Amer. Math. Soc. 65 (1949), 1-13
  65. Kac M. On some connections between probability theory and differential and integral equations. Proc. Second Berkley Symp. Math. Stat. Probab. 1 (1951), 189-215
  66. Philips H. B., Wiener N. Nets and Dirichlet problem. J. Math. Phys. 2 (1923), 105-124
  67. Petrovski I. G. Uber das Irrfahrtproblem. Math. Ann. 109 (1934), 425-444
  68. Doob J. L. Semimartingales and subharmonic functions. Trans. Amer. Math. Soc. 77 (1954), 86-121
  69. Ueno T. The diffusion satisfying Wentzell's boundary conditions and the Markov processes on the boundary. Proc. Japan Akad. 36 (1960), 533-538
  70. Blumenthal R. M., Getoor R. K., McKean H. P. Markov processes with identical hitting distributions. Illinois J. Math. 6 (1962), 402-421
  71. Strook D. W., Varadhan S. R. S. Multidimensional diffusion processes. Berlin, Springer Publ., 1979. 338 p
  72. Ито К. Вероятностные процессы. Вып. 2. Москва, ИЛ, 1963. 135 с
  73. Arnold L. Stochastic differential equations: Theory and applications. N. Y., Wiley Publ., 1974. 228 p
  74. Ikeda N., Watanabe S,. Stochastic differential equations and diffusion processes. Amsterdam, Oxford, N. Y., North Holland Publ. Co., 1981. 480 p
  75. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы: Анализ и фильтрация. Москва, Наука, 1985. 559 с
  76. Гирсанов И. В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры. Теория вероятн. и ее прим. 5: 3 (1960), 314-330
  77. Maruyama G. Continuous Markov processes and stochastic equations. Rend. Circ. Math. Palermo. 4 (1955), 48-90
  78. Дзагнидзе З. А., Читашвили Р. Я. Приближенное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Труды IV. Тбил. гос. ун-т. Ин-т прикл. мат. (1975), 267-279
  79. Аталла М. А. Конечно-разностные аппроксимации для стохастических дифференциальных уравнений. Вероятностные методы исследования систем с бесконечным числом степеней свободы. Сб. научн. трудов. Киев, Институт математики АН УССР (1986), 11-16
  80. Никитин Н. Н., Разевиг В. Д. Методы цифрового моделирования стохастических дифференциальных уравнений и оценка их погрешностей. Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 18: 1 (1978), 106-117
  81. Разевиг В. Д. Цифровое моделирование многомерных динамических систем при случайных воздействиях. Автоматика и телемеханика. 4 (1980), 177-186
  82. Maghsoodi Y., Harris C. J. In-probubility approximation and simulation of nonlinear jump-diffusion SDE. IMA J. Math. Control Inform. 4 (1987), 65-92
  83. Maghsoodi Y. Mean-square efficient numerical solution of jump-diffusion SDE. 1994. Preprint OR72. Univ. of Southampton. 26 p
  84. Talay D. Convergence pour chaque trajectoire d'un scheme d'approximation des EDS. ComputesRendus Acad. Sci. Paris. Ser. I. Math. 295 (1982), 249-252
  85. Talay D., Tubaro L. Expansion of the global error for numerical schemes solving stochastic differential equations. Stoch. Anal. Appl. 8: 4 (1990), 483-509
  86. Talay D. Efficient numerical schemes for the approximation of expectations of functionals of the solution of an SDE and applications. Springer Lecture Notesin Control and Inform. Sci. 61 (1984), 294-313
  87. Мильштейн Г. Н. Приближенное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Теория вероятн. и ее прим. 19 (1974), 557-562
  88. Мильштейн Г. Н. Метод второго порядка точности интегрирования стохастических дифференциальных уравнений. Теория вероятн. и ее прим. 23 (1978), 396-401
  89. Мильштейн Г. Н. Слабая аппроксимация решений систем стохастических дифференциальных уравнений. Теория вероятн. и ее прим. 30 (1985), 750-766
  90. Мильштейн Г. Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск, Изд-во Уральск. ун-та, 1988. 225 с
  91. Мильштейн Г. Н. Решение первой краевой задачи для уравнений параболического типа с помощью интегрирования стохастических дифференциальных уравнений. Теория вероятн. и ее прим. 40 (1995), 657-665
  92. Ауслендер Э. И., Мильштейн Г. Н. Асимптотические разложения показателя Ляпунова для линейных стохастических систем с малыми шумами. Прикл. матем. и мех. 46: 3 (1982), 358-365
  93. Гладышев С. А., Мильштейн Г. Н. Метод Рунге-Кутта для вычисления винеровских интегралов экспоненциального типа. Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 24 (1985), 1136-1149
  94. Milstein G. N. The probability approach to numerical solution of nonlinear parabolic equations. 1997. Preprint No. 380, WIAS. 29 p
  95. Milstein G. N., Tretyakov M. V. Stochastic numerics for mathematical physics. Berlin, Springer-Verlag Publ., 2004. 596 p
  96. Milstein G. N., Tretyakov M. V. Numerical integration of stochastic differential equations with nonglobally lipschitz coefficients. SIAM J. Numer. Anal. 43: 3 (2005), 1139-1154
  97. Milstein G. N., Tretyakov M. V. Numerical algorithms for forward-backward stochastic differential equations. SIAM J. Sci. Comput. 28: 2 (2006), 561-582
  98. Milstein G. N., Tretyakov M. V. Practical variance reduction via regression for simulating diffusions. Rseach Reports in Mathematics. Report No. MA-06-019, University of Leicester, 2006. 24 p
  99. Milstein G. N., Tretyakov M. V. Solving linear parabolic stochastic partial differential equations via averaging over characteristics. Reseach Reports in Mathematics. Report No. MA-07-009, University of Leicester, 2007. 26 p
  100. Milstein G. N., Platen E., Schurz H. Balanced implicit methods for stiff stochastic systems. SIAM J. Numer. Anal. 35: 3 (1998), 1010-1019
  101. Platen E. A Taylor-Ito formula for semimartingales solving a stochastic differential equation. Springer Lecture Notesin Control and Inform. Sci. 36 (1981), 157-164
  102. Platen E. A generalized Taylor formula for solutions of stochastic differential equations. Sankhya. 44A (1982), 163-172
  103. Platen E. An approximation method for a class of Ito processes with jump component. Lietuvos Mat. Rink. 22 (1982), 124-136
  104. Platen E. Zur zeitdiskreten Approximation von Itoprozessen. Diss. B., IMath. Akad. der Wiss. der DDR, 1984. Berlin
  105. Platen E. Higher-order weak approximation of Ito diffusions by Markov chains. Probab. Eng. Inform. Sci. 6 (1992), 391-408
  106. Platen E. On weak implicit and predictor-corrector methods. Math. Comput. Simulation. 38 (1995), 69-76
  107. Platen E. An introduction to numerical methods for stochastic differential equations. Acta Numerica. 8 (1999), 197-246
  108. Platen E., Wagner W. On a Taylor formula for a class of Ito processes. Probab. Math. Statist. 3 (1982), 37-51
  109. Wagner W., Platen E. Approximation of Ito integral equations. Preprint ZIMM Akad. Wiss. DDR. Berlin. 1978. 27 p
  110. Mikulevicius R., Platen E. Time discrete Taylor approximations for Ito processes with jump component. Math. Nachr. 138 (1988), 93-104
  111. Mikulevicius R., Platen E. Rate of convergence of the Euler approximation for diffusion processes. Math. Nachr. 151 (1991), 233-239
  112. Hofmann N., Platen E. Stability of weak numerical schemes for stochastic differential equations. Comput. Math. Appl. 28: 10-12 (1994), 45-57
  113. Hofmann N., Platen E. Stability of superimplisit numerical methods for stochastic differential equations. Fields Inst. Communications. 9 (1996), 93-104
  114. Kloeden P. E., Platen E. The Stratonovich and Ito-Taylor expansions. Math. Nachr. 151 (1991), 33-50
  115. Kloeden P. E., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equations. Berlin, Springer-Verlag Publ., 1992. 632 p
  116. Kloeden P. E., Platen E., Wright I. W. The approximation of multiple stochastic integrals. Stoch. Anal. Appl. 10: 4 (1992), 431-441
  117. Kloeden P. E., Platen E. Higher-order implicit strong numerical schemes for stochastic differential equations. J. Statist. Phisics. 66 (1992), 283-314
  118. Kloeden P. E., Platen E., Schurz H. Numerical solution of SDE through computer experiments. Berlin, Springer-Verlag Publ., 1994. 292 p
  119. Kloeden P. E., Platen E., Hofmann N. Extrapolation methods for the weak approximation of Ito diffusions. SIAM J. Numer. Anal. 32 (1995), 1519-1534
  120. Kloeden P. E., Platen E., Schurz H., Sorensen M. On effects of discretization on estimators of drift parameters for diffusion processes. J. Appl. Probab. 33 (1996), 1061-1076
  121. Arnold L., Kloeden P. E. Explicit formulae for the Lyapunov exponents and rotation number of two-dimensional systems with telegraphic noise. SIAM J. Appl. Math. 49 (1989), 1242-1274
  122. Кульчицкий О. Ю., Кузнецов Д. Ф. Разложение процессов Ито в ряд Тейлора-Ито в окрестности фиксированного момента времени. ВИНИТИ, 2637-В93 (1993), 26 с
  123. Кульчицкий О. Ю., Кузнецов Д. Ф. Аппроксимация кратных стохастических интегралов Ито. ВИНИТИ, 1678-В94 (1994), 42 с
  124. Кузнецов Д. Ф. Конечно-разностная аппроксимация разложения Тейлора-Ито и конечно-разностные методы численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений Ито. ВИНИТИ, 3509-В96 (1996), 24 с
  125. Кузнецов Д. Ф. Конечно-разностный метод численного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений Ито с локальной среднеквадратической погрешностью третьего порядка малости. ВИНИТИ, 3510-В96 (1996), 27 с
  126. Кузнецов Д. Ф. Теоремы о замене порядка интегрирования в повторных стохастических интегралах. ВИНИТИ, 3607-V97 (1997), 31 с
  127. Кузнецов Д. Ф. Метод разложения и аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича, основанный на кратных рядах Фурье по полным ортонормированным системам функций. Электронный журнал " Дифференциальные Уравнения иПроцессы Управления". 1997, no. 1. Доступно по ссылке: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/j002.pdf
  128. Кульчицкий О. Ю., Кузнецов Д. Ф. Унифицированное разложение Тейлора-Ито. Зап. науч. сем. ПОМИ им. В. А. Стеклова. 244 (1997), 186-204
  129. Кузнецов Д. Ф. Некоторые вопросы теории численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито. С. -Петербург, Изд-во СПбГТУ, 1998. 203 с
  130. Kuznetsov D. F. Method of expansion and approximation of repeated stochastic Stratonovich integrals, which is based on multiple Fourier series on full orthonormal systems. Abstracts of the international conference " Asymptotic methods in probabilityand mathematical statistics" . St. -Petersburg, 1998, pp. 146-149
  131. Кузнецов Д. Ф. Использование различных полных ортонормированных систем функций для численного решения стохастических дифференциальных уравнений Ито. Тезисы докладов второй междунар. конф. " Дифференц. уравнения и их прим. " С. -Петербург, 1998, с. 128-129
  132. Кульчицкий О. Ю., Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование решений стохастических систем линейных стационарных дифференциальных уравнений. Электронный журнал " Дифференциальные Уравнения иПроцессы Управления". 1998, no. 1. Доступно по ссылке: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/j010.pdf
  133. Кузнецов Д. Ф. Применение методов аппроксимации повторных стохастических интегралов Стратоновича и Ито к численному моделированию управляемых стохастических систем. Проблемы управления и информатики. 4 (1999), 91-108
  134. Кузнецов Д. Ф. Разложение повторных стохастических интегралов Стратоновича, основанное на кратных рядах Фурье. Зап. науч. сем. ПОМИ им. В. А. Стеклова. 260 (1999), 164-185
  135. Кузнецов Д. Ф. К проблеме численного моделирования стохастических систем. Вестн. молодых ученых. Сер. прикл. мат. и мех. 1 (1999), 20-32
  136. Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. С. -Петербург, Наука, 1999. 460 с
  137. Кузнецов Д. Ф. Применение полиномов Лежандра к среднеквадратической аппроксимации решений стохастических дифференциальных уравнений. Проблемы управления и информатики. 5 (2000), 84-104
  138. Кузнецов Д. Ф. Слабый численный метод четвертого порядка для стохастических дифференциальных уравнений Ито. Вестн. молодых ученых. Сер. прикл. мат. и мех. 4 (2000), 47-52
  139. Кузнецов Д. Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. С. -Петербург, Изд-во СПбГУ, 2001. 712 с
  140. Кузнецов Д. Ф. Новые представления явных одношаговых численных методов для стохастических дифференциальных уравнений со скачкообразной компонентой. Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 41: 6 (2001), 922-937
  141. Кузнецов Д. Ф. Новые представления разложения Тейлора-Стратоновича. Зап. науч. сем. ПОМИ им. В. А. Стеклова. 278 (2001), 141-158
  142. Кузнецов Д. Ф. Конечно-разностные сильные численные методы порядков точности 1. 5 и 2. 0 для стохастических дифференциальных уравнений Ито с неаддитивным многомерным шумом. Проблемы управления и информатики. 4 (2001), 59-73
  143. Кузнецов Д. Ф. Комбинированный метод сильной аппроксимации повторных стохастических интегралов. Проблемы управления и информатики. 4 (2002), 141-147
  144. Кузнецов Д. Ф. Трехшаговые сильные численные методы для стохастических дифференциальных уравнений Ито. Проблемы управления и информатики. 6 (2002), 104-119
  145. Кузнецов Д. Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. 2. С. -Петербург, Изд-во Политехнического университета, 2006. 764 с
  146. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. Изд. 4-е. С. -Петербург, Изд-во Политехнического университета, 2010. 816 с
  147. Д. Ф. Кузнецов. Повторные стохастические интегралы Ито и Стратоновича и кратные ряды Фурье. Электронный журнал " Дифференциальные Уравнения иПроцессы Управления". 2010, no. 3. 257 c. Доступно по ссылке: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/kuznetsov_book.pdf
  148. Kuznetsov D. F. Multiple Ito and Stratonovich Stochastic Integrals: Approximations, Properties, Formulas. St. -Petersburg, Polytechnical University Publishing House, 2013. 382 p
  149. Kuznetsov D. F. Multiple Ito and Stratonovich Stochastic Integrals: Fourier-Legendre and Trigonometric Expansions, Approximations, Formulas. Electronic Journal " Differential Equations and Control Processes". 2017, no. 1. 385 p. Available at: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/EN/numbers/2017.1/article.2.1.html
  150. Арсеньев Д. Г., Кульчицкий О. Ю. Оптимизация алгоритмов численного интегрирования жестких линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. ВИНИТИ, 732-B86 (1986), 32 с
  151. Schurz H. Asymptotical mean square stability of an equilibrium point of some linear numerical solutions with multiplicative noise. Stoch. Anal. Appl. 14 (1996), 313-354
  152. Pettersson R. The Stratonovich-Taylor expansion and numerical methods. Stoch. Anal. Appl. 10: 5 (1992), 603-612
  153. Mikulevicius R. On some properties of solutions of stochastic differential equations. Lietuvos Mat. Rink. 4 (1983), 18-31
  154. Clements D. J., Anderson B. D. O. Well behaved Ito equations with simulations that always misbehave. IEEE Trans. Automat. Control. AC-18 (1973), 676-677
  155. Wright D. J. The digital simulation of stochastic differential equations. IEEE Trans. Automat. Control. AC-19 (1974), 75-76
  156. Wright D. J. Digital simulation of Poisson stochastic differential equations. Internat. J. Systems Sci. 6 (1980), 781-785
  157. Rumelin W. Numerical treatment of stochastic differential equations. SIAM J. Numer. Anal. 19 (1982), 604-613
  158. Gard T. C. Introduction to stochastic differential equations. N. Y., Marcel Dekker Publ., 1988. 324 p
  159. Chang C. C. Numerical solution of stochastic differential equations with constant diffusion coefficients. Math. Comput. 49 (1987), 523-542
  160. Allen E. Modeling with Ito stochastic differential equations. Dordrecht, Springer Publ., 2007. 240 p
  161. Allen E. Approximation of Triple Stochastic Integrals Through Region Subdivision. Communications in Applied Analysis. (Special Tribute Issue to Professor V. Lakshmikantham), 17 (2013), 355-366
  162. Greenside H. S., Helfand E. Numerical integration of stochastic differential equations. II. Bell SystemTech. J. 60 (1981), 1927-1940
  163. Klauder J. R., Petersen W. P. Numerical integration of multiplicative-noise stochastic differential equations. SIAM J. Numer. Anal. 22 (1985), 1153-1166
  164. Hernandez D. B., Spigler R. Convergence and stability of implicit Runge-Kutta methods for systems with multiplicative noise. BIT. 33 (1993), 654-669
  165. Haworth D. C., Pope S. B. A second-order Monte-Carlo method for the solution of the Ito stochastic differential equation. Stoch. Anal. Appl. 4 (1986), 151-186
  166. Артемьев С. С., Шкурко И. О. Численное решение линейных систем стохастических дифференциальных уравнений. Тезисы докладов VII Всесоюз. совещания " Методы Монте-Карлов вычислительной математике и математической физике", 1985, Новосибирск, с. 144-146
  167. Артемьев С. С., Якунин М. А. Математическое и статистическое моделирование в финансах. Новосибирск, Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2008. 174 с
  168. Shkurko I. O. Numerical solution of linear systems of stochastic differential equations. Numer. Methods Statist. Modeling. Collected Scientific Works. Novosibirsk, 1987. p. 101-109
  169. Аверина Т. А., Артемьев С. С. Новое семейство численных методов для решения стохастических дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР. 288: 4 (1986), 777-780
  170. Wagner W. Unbiased Monte-Carlo evaluation of certain functional integrals. J. Comput. Phys. 71 (1987), 21-33
  171. Wagner W. Monte-Carlo evaluation of functionals of solutions of stochastic differential equations. Variance reduction and numerical examples. Stoch. Anal. Appl. 6 (1988), 447-468
  172. Richardson J. M. The application of truncated hierarchy techniques in the solution of a stochastic linear differential equation. In Stochastic Processes in Mathematical Phisics and Engineering. Proc. Symp. Appl. Math. Ed. R. Bellman. Amer. Math. Soc. Providence RI. 16 (1964), 290-302
  173. McKenna J., Morrison J. A. Moments and correlation functions of a stochastic differential equation. J. Math. Phys. 11 (1970), 2348-2360
  174. McKenna J., Morrison J. A. Moments of solutions of a class of stochastic differential equations. J. Math. Phys. 12 (1971), 2126-2136
  175. Klauder J. R., Petersen W. P. Spectrum of certain non-self-adjoint operators and solutions of Langevin equations with complex drift. J. Statist. Phys. 39 (1985), 53-72
  176. Newton N. J. An asymptotically efficient difference formula for solving stochastic differential equations. Stochastics. 19 (1986), 175-206
  177. Newton N. J. Asymptotically optimal discrete approximations for stochastic differential equations. In theory and applications of nonlinear control systems. Ed. C. Byrnes, A. Lindquist. Amsterdam, 1986, p. 555-567
  178. Newton N. J. Asymptotically efficient Runge-Kutta methods for a class of Ito and Stratonovich equations. SIAM J. Appl. Math. 51 (1991), 542-567
  179. D. J. Higham, X. Mao, A. M. Stuart. Strong convergence of Euler-type methods for nonlinear stochastic differential equations. SIAM J. Numer. Anal. 40 (2002), 1041-1063
  180. Кореневский М. Л. Об оптимизации одного метода приближенного вычисления матричной экспоненты. Труды междунар. конф. " Средства математического моделирования". С. -Петербург, 1997, с. 125-134
  181. Дьяконов В. П. Справочник по применению системы PC MatLab. Москва, Наука, 1993. 111 с
  182. Дьяконов В. П. MATLAB 6. 5 SP1/7. 0 + Simulink 5/6. Основы применения. Москва, СОЛОН-пресс, 2005. 800 c

Полный текст (pdf)