English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Субоптимальное решение одного сингулярного интегрального уравнения с возмущенным оператором на основе вероятностных методов

Автор(ы):

Александр Анатольевич Рогоза

Калужский филиал Московского государственного технического
университета им. Н.Э. Баумана
г. Калуга, ул. Баженова, д.2.

aemaeth_eternity@mail.ru

Аннотация:

В настоящей статье построен новый проекционный метод решения класса сингулярных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, в том числе в условиях возмущенного интегрального оператора, что актуально для задач робастного управления в математической теории управления. Проведено исследование свойств этого метода и разработан алгоритм его численной реализации. В частности построена модификация проекционного \метода Галеркина, предназначенного для решения сингулярных интегральных уравнений Фредгольма второго рода с возмущенным оператором и использующего пространство кусочно-линейных функций в качестве аппроксимирующего пространства. Получены оценки погрешностей этого метода для уравнений с сингулярными ядрами и гладкими правыми частями уравнения, принадлежащими следующим пространствам: весовым лебеговым пространствам, пространству непрерывных функций, пространству Соболева. Разработан эффективный алгоритм численной реализации рассматриваемого проекционного метода, ориентированного в первую очередь на применение ЭВМ. Проведена серия вычислительных экспериментов для оценки качества предложенного проекционного метода и его реализация. В рамках этого пункта решаемой задачей является: задача синтеза робастного регулятора в условиях параметрических неопределенностей на основе вероятностных методов.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Егупов Н. Д., Пупков К. А., Рогоза А. А., Трофимов М. А. Алгоритмическая теория систем управления, основанная на спектральных методах. В двух томах. Том 2. Матрично-вычислительные технологии на базе интегральных уравнений / Под ред. Матвеева В. А. - М. : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. - 464 с
  2. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Вероятностный подход к робастной устойчивости систем с запаздыванием. Автом. телемех. 1996, №12, 97-108 с
  3. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. - М. : Наука, 2002. - 303 с
  4. Rutily B., Chevallier L. Why is so dicult to solve the radiative transfer equation? // EAS Publications Series, 2006. Vol. 18, pp. 1-23
  5. Ahues M., Largillier A., Titaud O. The roles of a week singularity and the grid uniformity in relative error bounds // Numer. Funct. Anal. and Optimiz. 2001. Vol. 22, 7-8, pp. 789-814
  6. Ahues M., d’Almeida F. D., Largillier A., Titaud O., Vasconcelos P. An L 1 rened projection approximate solution of the radiation transfer equation in stellar atmospheres // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2002, Vol. 140, 1-2, pp. 13-26
  7. Panasenko G., Rutily B. Titaud O. Asymptotic analysis of integral equations for a great interval and its application to stellar radiative transfer // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. Mecanique. 2002, Vol. 330, pp. 735-740
  8. Amosov A., Panasenko G., Rutily B. An approximate solution to the integral radiative transfer equation in an optically thick slab // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. Mecanique. 2003. Vol. 331, pp. 823-828
  9. Rutily B. Multiple scattering theory and integral equations // Integral Methods in Science and Engineering (C. Constanda, M. Ahues, and A. Largillier, eds. ). Birkhauser, Boston, pp. 211-232, 2004
  10. Rutily B., Chevallier L. The nite Laplace transform for solving a weakly singular integral equation occurring in transfer theory // Journal of Integral Equations and Applications. 2004, Vol. 16, 4, pp. 389 409
  11. Ahues M., Amosov A., Largillier A., Titaud O. L p error estimates for projection approximations // Applied Mathematics Letters. 2005. Vol. 18, pp. 381-386
  12. Amosov A., Panasenko G. Asymptotic analysis and asymptotic domain decomposition for an integral equation of the radiative transfer type // J. Math. Pures Appl. 2005. Vol. 84, pp. 1813-1831
  13. d’Almeida F., Titaud O., Vasconcelos P. B. A numerical study of iterative renement schemes for weakly singular integral equations // Applied Mathematics Letters. 2005, Vol. 18, 5, pp. 571 - 576
  14. Amosov A., Panasenko G. An approximate solution to the integral radiative transfer equation in an optically thick slab // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2007. Vol. 30, pp. 1593-1608
  15. Amosov A., Ahues M., Largillier A. Superconvergence of projection methods for weakly singular integral operators // Integral Methods in Science and Engineering: Techniques and Applications (Constanda C., Potapenko S. eds). Birthauser, Boston. 2008, pp. 17
  16. Amosov A., Ahues M., Largillier A. Supercovergence of some projection approximations for weakly singular integral equations using general grids // Siam Journal on Numerical Analysis, 2009, Vol. 47, Issue 1, pp. 646-674
  17. Ahues M., d’ Almeida F., Fernandes R. Piecewise constant Galerkin approximations of weakly singular integral equations // Internat. J. Pure Appl. Math. 2009. Vol. 55, 4, pp. 569-580
  18. Nunes A. L., Vasconcelos P. B., Ahues M. Error Bounds for Low-Rank Approximations of the First Exponential Integral Kernel // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2013. Vol. 34, 1, pp. 74 - 93
  19. d’Almeida F. D., Ahues M., Fernandes R. Errors and grids for projected weakly singular integral equations // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2013. Vol. 89, 2, pp. 203-213
  20. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. - Москва: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 416 c
  21. Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. ЧМ. : Мир, 1980
  22. Strang G. A proposal for Toeplitz matrix calculations // Stud. Appl. Math. 1986. Vol. 74, P. 171 - 176
  23. Olkin J. Linear and Nonlinear Deconvolution Problems. Ph. D. thesis, Rice University, Houston. TX, 1986
  24. Chan R. and Strang G. Toeplitz equations by conjugate gradients with circulant preconditioner // SIAM J. Sci. Comput. 1989. Vol. 10, P. 104 - 119
  25. Tyrtyshnikov E. Optimal and super-optimal circulant preconditioners // SIAM J. Matrix Anal. Appls. 1992 Vol. 13, P. 459-473
  26. Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М. : Физматлит, 2007
  27. G Calafiore, F Dabbene. Probabilistic and Randomized Methods for Design under Uncertainty. Springer-Verlag London Limited 2006
  28. S. Chandrasekaran, G. H. Golub, M. Gu, and A. H. Sayed. Parameter estimation in the presence of bounded data uncertainties. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 19:235-252, 1998
  29. L. El Ghaoui and H. Lebret. Robust solutions to least-squares problems with uncertain data. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 18:1035-1064, 1997
  30. J. L. Higle and S. Sen. On the convergence of algorithms with implications for stochastic and nondifferentiable optimization. Mathematics of Operations Research, 17:112-131, 1992
  31. H. A. Hindi and S. P. Boyd. Robust solutions to l1, l2, and l∞ uncertain linear approximation problems using convex optimization. In Proceedings of the American Control Conference, volume 6, 1998
  32. T. Kailath, A. Sayed, and B. Hassibi. Linear Estimation. Information and System Science. Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2000
  33. M. Karpinski and A. J. Macintyre. Polynomial bounds for VC dimension of sigmoidal neural networks. In Proc. 27th ACM Symp. Thy. of Computing, 1995
  34. A. J. King and R. T. Rockafellar. Asymptotic theory for solutions in statistical estimation and stochastic optimization. Mathematics of Operations Research, 18:148-162, 1993
  35. W. -K. Mak, D. P. Morton, and R. K. Wood. Monte-Carlo bounding techniques for determining solution quality in stochastic programs. Mathematics of Operations Research, 24:47-56, 1999
  36. A. H. Sayed, V. H. Nascimento, and S. Chandrasekaran. Estimation and control with bounded data uncertainties. Linear Algebra and Applications, 248:259-306, 1999
  37. A. Shapiro. Asimptotic properties of statistical estimators in stochastic programming. Annals of Statistics, 17:841-858, 1989
  38. A. Shapiro. Duality, optimality conditions, and perturbation analysis. In H. Wolkowicz, R. Saigal, and L. Vandenberghe, editors, Handbook of Semidefinite Programming: Theory, Algorithms, and Applications, pages 68-92. Kluwer, Boston, USA, 2000
  39. R. Tempo, G. Calafiore, and F. Dabbene. Randomized Algorithms for Analysis and Control of Uncertain Systems. Communications and Control Engineering Series. Springer-Verlag, London, 2004
  40. A. Tikhonov and V. Arsenin. Solution to Ill-posed Problems. Wiley, New York, 1977
  41. V. N. Vapnik. Statistical Learning Theory. Wiley, New York, 1998
  42. M. Vidyasagar. A Theory of Learning and Generalization. Springer-Verlag, London, 1997
  43. R. J. -B. Wets. Stochastic programming. In G. L. Nemhauser, A. H. G. Rinnoy Kan, and M

Полный текст (pdf)