English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Интегрирование уравнений Гарри Дима и Кортевега де Вриза в параметрической форме

Автор(ы):

Наталья Константиновна Волосова

студентка 4 курса каф. Прикладная математика 1
Московского университета Путей сообщения императора Николая II

konstantinvolosov@yandex.ru

Александра Константиновна Волосова

кандидат физико-математических наук
специалист, математик - системный программист
Московского университета Путей сообщения императора Николая II

konstantinvolosov@yandex.ru

Константин Александрович Волосов

доктор физико-математических наук
профессор кафедры Прикладная математика 1
Московского университета Путей сообщения императора Николая II

konstantinvolosov@yandex.ru

Аннотация:

Относительно новый метод ``не фиксированной конструктивной замены переменных'' впервые применён к уравнениям Harry Dym (HD) и Korteweg - de Vries (KdV). Построены две динамические системы и сформулированы необходимые условия устойчивости фазовых траекторий. Построена система функциональных алгебраических уравнений и доказано, что два формальных условия разрешимости для системы дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка имеют один нетривиальный общий множитель. Для уравнений HD и KdV обнаружено важное свойство: после замены переменных уравнение на функцию первой производной точно, аккуратно ОТДЕЛЯЕТСЯ в отдельном новом уравнении с частными производными от всех других уравнений. Точные решения, построенные с помощью неатономных динамических систем, совпадают с глобальными решениями. Этого не происходит в уравнениях с диссипацией. Найдены по два класса точных решений для уравнений HD и KdV. Появляется возможность конструирования новых асимптотических решений.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Маслов B. П. Асимптотические методы и теория возмущений. - М. : Наука. 1988, 312 с
  2. Маслов B. П., Цупин В. А. Современные проблемы математики, 1977, №8, с. 273
  3. Maslov V. P., Omel'yanov G. A. Geometric Asymptotics for Nonlinear PDE // Amer. Math. Soc. Providence 2001, v. 202, 360 p
  4. Маслов B. П. Квантовая экономика. - М. : Наука, 2007. - 80 с
  5. Маслов В. П., Данилов В. Г., Волосов К. А. Математическое моделирование технологических процессов изготовления БИС. - М. : МИЭМ, 1984
  6. Маслов В. П., Данилов В. Г., Волосов К. А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса (эволюция диссипативных структур). С добавлением Н. А. Колобова. - М. : Наука, 1987
  7. Maslov V. P., Danilov V. G., Volosov K. A. Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes. - Kluver Academic Publishers. Dordrecht, Boston, London, 1995. - 316 p
  8. Clarkson P. A., Kruskal M. D. New sinilarity reduction of the Boussinesq equation // J. Math. Phys., 1989, V. 30, №10, pp. 2201-2213
  9. Solitons. Edited by R. K. Bullough, P. J. Caudrey with contributions by R. K. Bullought, F. Calogero, P. J. Caudrey, A. Degasperis, L. D. Faddev, H. M. Gibbs, R. Hirota, G. L. Lamb, Jr. A. H. Luther, D. W. McLaughlin, A. C. Newell, S. P. Novikov, M. Toda, M. Wadati, V. E. Zakharov. - New Yurk. 1980
  10. Волосов K. A. Мат. заметки 1994, Т. 56, В. 6, С. 122-126. English transl. Transformation of Approximate solutions of liner parabolic equations into asymptotic solutions of quasilinear parabolic equations // Mathematical Notes. 1994. Vol. 56. \No 5-6, pp. 1295-1299
  11. Волосов K. A. // Дифф. уравн. 2007, Т. 43, №4, C. 492-497. English transl. Differential Equations. Pleiades Publishing Ltd., ISSN 0012-2661. Vol. 43, №4, p. 507-512, 2007
  12. Volosova A. K., Volosov K. A. Construction Solutions of PDE in Parametric Form // Hindawi Publ. Corp., Int. Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. V. 2009, Article ID 319269, 17 p., http://www.hindawi.com/journals/ijmms/2009/319269.htmt doi:10. 1155/2009/319269
  13. Volosova A. K., Volosov K. A. Stochastic systems under periodic and white noise external excitation // The 3rd International Conference on Nonlinear Dynamics Nd-KhPI 2010, Kharkov, Ukraine, p. 437-442
  14. Волосов К. А. Конструирование решений квазилинейных уравнений с частными производными // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008, т. XI, 2 (34), 29-39 с. English transl. Construction of solutions of PDE. Journal of Applied and Industtrial Mathematics, 2009, V. 3, № 4, pp. 519-527
  15. Volosov K. A. Doctorial dissertation, MIEM, Moscow, Russia, MIIT, 2007, http://eqworld.ipmnet.ru dis volosov Doc2007. pdf
  16. Волосов К. А. Формулы для точных решений квазилинейных уравнений с частными производными в неявной форме // ДАН, 2008, т. 418, с. 11-14. English transl. Implicit Formulas for Exaxt Solutions of Quasilinear Pathial Differential Equations. ISSN 1064-5624, Doklady Mathematics, 2008, Vol. 77, № 1, pp. 1-4, представлено академиком В. П. Масловым
  17. Kudrashov N. A. From singular manifold to integrable evolution equations // J. Phys. A: Math. Gen. 27, (1994), 2457-2470. print in the UK
  18. Volosov K. A., Vdovina E. K., Volosova A. K. Accompany matrix of the Korteweg - de Vries equation. International conference on the differential equations // Samara-Diff 2011, 26-30 june 2011, p. 32-33. Math-Net. Ru, Google Schoar, ZentralBlatt
  19. Volosov K. A., Vdovina E. K., Volosova A. K. Accompany matrix of the Korteweg - de Vries equation // 8th International ISAAC Congress. Moscow, 22-27 august 2011, p. 278. Math-Net. Ru, Google Schoar, ZentralBlatt
  20. Volosov K. A., Vdovina E. K. About expansion of number of models which have pairs of Lax's // International Journal Equation and Applications. 2012, v. 11, № 1, p. 27-30
  21. Волосова Н. К., Волосов К. А., Волосова А. К., Вакуленко С. П. К теории уравнения Кортевега - де Вриза // LXX Mеждународная конференция, посвященная 220-летию Университета. Российский государственный педагогический университет имени А. И. Герцена. 10-15 апреля 2017, с. 38-52. The theory adding to equation of Korteweg - de Vries. LXX International jubilee conference. St. Peterburg. Herzen State Pedagogical University of Russia, 10-15 April 2017, p. 38-52
  22. Bratus А. S., Volosov К. А. Regularization of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation with nonlinearity of the module type in optimal control problems // Journal of Mathematical Sciences. Publisher cosultarts Bureau. An Inprint of Springer Verlag New-York LLG. - april 2005 - Vol. 126. № 6. - P. 1542-1552. http://dx.doi.org/10.1007/s10958-005-0042-1 , http://www.springeronline.com/authors ISSN 1072-3374 (paper) 1573-8795 (Online) DoI 10. 1007/s10958-005-0042
  23. Братусь А. С., Волосов К. А. Точные решения уравнения Беллмана для задач оптимальной коррекции с интегральным ограничением на суммарный ресурс управления // ПММ. 2004, Т. 68, № 5, С. 48-55. Engl. tran. in J. Appl. Math. and Mech. Bratus А. S., Volosov К. А. Exact solutions of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation for problems of optimal correction with a limited total control resourse. (Russian) Prikl. Mat. Mekh. 68 (2004), p. 819-832
  24. Volosov K. A., Danilov V. G., Maslov V . P. Combustion wave asymptotics in nonlinear inhomogeneous media with slowly varying properties // Dokl. Akad. Nauk SSSR 290:5 (1986), 1089-1094 (Russian); English transl. in Soviet Math. Dokl
  25. Volosov K. A., Danilov V. G., Maslov V. P. Weak discontinuity structure of solutions of quasilinear parabolic equations // Mat. Zametki 43:6 (1988), 829-838 (Russian); English transl. in Math. Notes
  26. Маслов В. П., Цупин В. А. !!!! ERROR!!! IMAGE IS NOT ALLOWERD! -образные обобщённые по Соболеву решения квазилинейных уравнений // УМН, 1979, т. 34, № 1 (205), 235-236. М. : Наука, 1987. English transl. $\delta$-shaped Sobolev generalized solutions of quasilinear equations. Russian mathematical Surveys. 1979. V. 4, № 1 (205), 231-236. http://dx.doi org/10. 1070/RM1979v034n01ABEH002884
  27. Маслов В. П., Омельянов Г. А., Цупин В. А. Asymptotics of some differential and pseudodifferential equations, and dynamical systems with small dispersion. Math. USSR - Sb. 50:1 (1985), 191-212
  28. Маслов В. П., Цупин В. А. Рropagation of a shock wave in an isentropic gas with small viscosity // Journal of Soviet Mathematics. 1980. V. 13, № 1, pp. 163-185
  29. Маслов В. П., Омельянов Г. А. Асимптотические солитонообразные решения уравнений с малой дисперсией // УМН, 1981, т. 36, № 3, 235-236. Asymptotic soliton - form solutions of equations with small dispersion. Russian math. Surveys, V. 36, № 3, (1981), pp. 73-149
  30. Dobrochotov S., Maslov V. Multyphase asymptotics of nonlinear partial equations with a small parameter // Tn. Sov. Science rev., Phys. Rev., 1981. Amsterdam: Over Publ. Ass, 1982
  31. Maslov V. P., Omel'yanov G. A. Soliton-like asymptotics of internal waves in a stratified fluid with small dispersion (Russian) Differentsial'nye Uravneniya V. 21. (1985), № 10, 1766-1775, 1837
  32. Maslov V. P. Three algebras corresponding to nonsmooth solutions of quasilinear hiperbolic equations // Uspekhi Math. Nauk, V. 35, (1980) (Russian); Englis transl. in Russian Math. Surveys
  33. Maslov V. P. The Complex WKB Method for Nonlinear Equations. I. Linear Theory. - Birkhä user, Basel - Boston - Berlin, 1994
  34. Maslov V. P. Nonstandard characteristics in asymptotic problems // Uspeki Mat. Nauk V. 38:6 (1983), pp. 3-36
  35. Danilov V. G., Omel'yanov G. A., Shelkovich V. M. Weak asymptotics and interaction of nonlinear waves // Translation of the American Mathematical Society. Series 2 208 (2003), 33-164

Полный текст (pdf)