English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Уравнение Якоби для горизонтальных геодезических на неголономном распределении и тензор кривизны Схоутена

Автор(ы):

Виктор Револьтович Крым

член Санкт-Петербургского математического общества
наб. р. Фонтанки, 27, 191023, Санкт-Петербург
кандидат физико-математических наук

vkrym12@rambler.ru

Аннотация:

В статье доказано, что если распределение определено на многообразии со специальной гладкой структурой и не зависит от вертикальных координат, то тензор кривизны Схоутена совпадает с римановым тензором кривизны. Уравнение Якоби для горизонтальных геодезических на распределении записано через тензор кривизны Схоутена и тензор неголономности. Исследованы необходимые и достаточные условия оптимальности второго порядка для горизонтальных геодезических в субримановой геометрии. Получен новый пример распределения, которое допускает анормальные геодезические, и сформулирована задача о проверке их оптимальности.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. М. : Иностранная литература, 1950. (Пер. с англ. : Bliss G. A. Lectures on the calculus of variations. Chicago, Illinois. )
  2. Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Современные проблемы математики, фундаментальные направления. Т. 16. С. 5-85. М. :ВИНИТИ, 1987
  3. Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономный оператор Лапласа // Проблемы математического анализа. 1990. Т. 11. С. 96-108
  4. Gromov M. Carnot-Carathé odory spaces seen from within // Prog. Math. 1996, 144, 79-323
  5. Vranceanu G. Parallé lisme et courbure dans une varié té non holonome // Atti del congresso lnternaz. del Mat. di Bologna, 1928, 6
  6. Schouten J. A., van Kampen D. Zur Einbettung und Krü mmungstheorie nichtholonomer Gebilde // Math. Annalen. 1930. V. 103. P. 752-783
  7. Schouten J. A., Kulk V. D. Pfaff'sproblem and its generalization. Oxford: Clarendon Press, 1949
  8. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий. Казань: Изд-во Каз. физ. -мат общ., 1939
  9. Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 1941. Вып. 5. С. 301-327
  10. Горбатенко Е. М. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий (по В. В. Вагнеру) // Геом. сб. Томского ун-та. 1985. Вып. 26. С. 31-43
  11. Крым В. Р. Поля Якоби для неголономного распределения // Вестн. С. -Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. N 4. С. 51-61
  12. Arutyunov A. V. Second-order conditions in extremal problems. The abnormal points // Transactions of the American Mathematical Society. 1998. Vol. 350, № 11. P. 4341-4365
  13. Арутюнов A. B. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М. : Факториал, 1997
  14. Петров Н. Н. Существование анормальных кратчайших геодезических в субримановой геометрии // Вестн. С. -Петерб. ун-та, сер. 1, 1993, Вып. 3 N15, с. 28-32
  15. Петров Н. Н. О кратчайших субримановых геодезических // Дифференц. уравнения, 30:5 (1994), 768-775; Differ. Equ., 30:5 (1994), 705-711
  16. Петров Н. Н. Об одной задаче субримановой геометрии // Дифференц. уравнения, 31:6 (1995), 973-979; Differ. Equ., 31:6 (1995), 911-916
  17. Montgomery R. A survey of singular curves in sub-Riemannian geometry // J. Dynam. Contr. Syst. 1995, N1, P. 49-90
  18. Dmitruk A. V. Quadratic sufficient minimality conditions for abnormal sub-Riemannian geodesics // J. Math. Sci. 2001, V. 104, N1, P. 779-829
  19. Bryant R. L., Hsu L. Rigidity of integral curves of rank-2 distributions // Invent. Math. 1993, V. 114, N 2, P. 435-461
  20. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник МГУ, серия математика и механика. 1959. N 2. С. 25-32
  21. Рашевский П. К. Любые две точки вполне неголономного пространства могут быть соединены допустимой кривой // Уч. зап. Моск. пед. ин-та им. Либкнехта, сер. физико-матем. 1938. Вып. 2. С. 83-94
  22. Chow W. L. Ű ber Systeme von linearen partiellen Differential-gleichungen erster Ordnung // Math. Ann. 1939. V. 117, N 1. P. 98-105
  23. Крым В. Р., Петров Н. Н. Каузальные структуры на гладких многообразиях // Вестн. С. -Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 2. N 9. С. 27-34
  24. Крым В. Р., Петров Н. Н. Тензор кривизны и уравнения Эйнштейна для четырехмерного неголономного распределения // Вестн. С. -Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. N 3. С. 67-79
  25. Крым В. Р. Топологическое квантование зарядов в теории Калуцы-Клейна // Вестн. С. -Петерб. ун-та. Сер. 4. 2009. N 3. С. 3-12
  26. Крым В. Р. Уравнения геодезических для заряженной частицы в объединенной теории гравитационных и электромагнитных взаимодействий // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 119. N 3. С. 517-528
  27. Крым В. Р., Петров Н. Н. Уравнения движения заряженной частицы в пятимерной модели общей теории относительности с неголономным четырехмерным пространством скоростей // Вестн. С. -Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. N 1. С. 62-70
  28. Aharonov Y., Bohm D. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory // Phys. Rev., 2nd series. 1959. Vol. 115. N 3. P. 485-491
  29. Esteban M. J., Georgiev V., Sé ré E. Stationary solutions of the Maxwell-Dirac and the Klein-Gordon-Dirac equations // Calculus of Variations. 1996. V. 4. P. 265-281
  30. Крым В. Р. Индексная форма для неголономного распределения // Вестн. С. -Петерб. ун-та. Сер. 1. 2012. N 2. С. 31-40
  31. Krym V. R. The Schouten Curvature for a Nonholonomic Distribution in Sub-Riemannian Geometry and Jacobi Fields // Proceedings of the School-Seminar on Optimization Problems and their Applications (OPTA-SCL 2018). Omsk, Russia, July 8-14, 2018. CEUR Workshop Proceedings, v. 2098 (2018)
  32. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Высшая школа, 1963
  33. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. : Мир, 1970
  34. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. СПб. : Наука, 1994
  35. Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. М. : ЛЕНАНД, 2017

Полный текст (pdf)