English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Сочетание метода шагов и расширения пространства состояний для анализа линейных стохастических систем с различными формами запаздывания и случайными входами в виде аддитивных и мультипликативных белых шумов

Автор(ы):

Игорь Егорович Полосков

Пермский государственный национальный исследовательский университет,
кафедра высшей математики, заведующий кафедрой,
Ученое звание и степень: доцент, д.ф.-м.н.
Россия, 614990, г.Пермь, ул.Букирева, 15

Igor.Poloskov@psu.ru

Аннотация:

В статье представлены теоретический аппарат и методика стохастического анализа систем линейных дифференциальных уравнений с двумя формами конечных запаздываний (сосредоточенными и распределенными), возмущаемых аддитивными и мультипликативными белыми шумами. Задача исследования решается на основе построения обыкновенных дифференциальных уравнений для первых моментных функций вектора состояния системы. В качестве инструмента такого построения применяемся схема, которая объединяет классический метод шагов и расширение пространства состояний и использует аппарат многомерных матриц. С помощью этой схемы строится цепочка систем стохастических дифференциальных уравнений без запаздывания, а затем и уравнения для искомых моментов. Программа, реализующая предлагаемую схему, исполнялась в среде пакета компьютерной алгебры Mathematica и была применена для анализа одной модельной системы. В заключительной части работы представлены полученные результаты расчетов, а также некоторые детали алгоритма программы.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 384 с.
  2. Андреева Е. А., Колмановский В. Б., Шайхет Л. Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. 336 с.
  3. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.
  4. Колмановский В. Б., Майзенберг Т. Л. Оптимальное управление стохастическими системами с последействием // Автоматика и телемеханика. 1973. № 1. С. 47-61.
  5. Кузнецов Д. Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. 4-е изд. СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2010. XXX+786 с.
  6. Маланин В. В., Полосков И. Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах: учеб. пособие. Ижевск: РХД, 2005. 296 с.
  7. Полосков И. Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом // Автоматика и телемеханика. 2002. № 9. С. 58-73.
  8. Полосков И. Е. Об анализе некоторых классов стохастических интегро-дифференциальных уравнений // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 2003. С. 99-106.
  9. Полосков И. Е. Об одном методе приближенного анализа линейных стохастических интегро-дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 9. С. 1276-1279.
  10. Полосков И. Е. О расчете первых моментов линейных интегро-дифференциальных систем с параметрическими возмущениями // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 2006. Вып. 38. С. 133-142.
  11. Полосков И. Е. Стохастический анализ динамических систем [Электронный ресурс]: монография. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2016. 772 с.
  12. Полосков И. Е. Расчет старших моментов вектора состояний линейной стохастической дифференциальной системы с запаздыванием, возбуждаемой аддитивными и мультипликативными белыми шумами // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 2018. Вып. 50. С. 73-94.
  13. Рубаник В. П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Мн.: Изд-во " Университетское", 1985. 143 с.
  14. Соколов Н. П. Введение в теорию многомерных матриц. Киев: Наукова думка, 1972. 176 с.
  15. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига: Зинатне, 1989. 421 с.
  16. Шампайн Л. Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB: учеб. пособие. СПб.: Изд-во " Лань", 2009. 304 с.
  17. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М. : Наука, 1971. 296 с.
  18. Adimy M., Crauste F., Halanay A. et al. Stability of limit cycles in a pluripotent stem cell dynamics model // Chaos, Solitons and Fractals. 2006. Vol. 27, № 4. P. 1091-1107.
  19. Banks H. T., Dediu S., Nguyen H. K. Time delay systems with distribution dependent dynamics // Annual Reviews in Control. 2007. Vol. 31, № 1. P. 17-26.
  20. Bellen A., Zennaro M. Numerical methods for delay differential equations. Oxford: Oxford University Press, 2003. XIV+395 p.
  21. Boukas El-K., Liu Zi-K. Deterministic and stochastic time delay systems. Boston: Birkhä user, 2002. XVI+423 p.
  22. Buckwar E. Introduction to the numerical analysis of stochastic delay differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. Vol. 125, № 1-2. P. 297-307.
  23. Buckwar E. Euler-Maruyama and Milstein approximations for stochastic functional differential equations with distributed memory term // SFB 373 Discussion Papers: Humboldt University of Berlin, Interdisciplinary Research Project 373. 2003. № 16. 24 p.
  24. Cao Y., Cerezo G., Herdman T. L., Turi J. Singularity expansion for a class of neutral equations // Journal of Integral Equations and Applications. 2007. Vol. 19, № 1. P. 13-32.
  25. Chekroun M. D., Krö ner A., Liu H. Galerkin approximations of nonlinear optimal control problems in Hilbert spaces // Electronic Journal of Differential Equations (Texas State University). 2017. Vol. 2017 (189). P. 1-40.
  26. Chocholatý P. Integro-differential equations with time-varying delay // Programs and Algorithms of Numerical Mathematics: Proc. of Seminar / J. Chleboun, K. Segeth, J. Šístek, and T. Vejchodský (eds. ). Prague: Institute of Mathematics AS CR, 2013. P. 51-56.
  27. Cushing J. M. Integrodifferential equations and delay models in population dynamics. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1977. VI+198 p.
  28. Gozzi F., Marinelli C., Savin S. On controlled linear diffusions with delay in a model of optimal advertising under uncertainty with memory effects // arXiv:math/0701580. 2008. 27 p.
  29. Hale J. K., Lunel S. M. V. Introduction to functional differential equations. New York: Springer, 1993. X+447 p.
  30. Hopkins T. Numerical solution of stochastic delay integrodifferential equations in population dynamics. Masters Thesis. Texas Tech University, 2004.
  31. Horvat V. On polynomial spline collocation methods for neutral Volterra integro-differential equations with delay arguments // Proc. of the 1th Conf. on Applied Mathematics and Computation. Dubrovnik, 1999. P. 113-128.
  32. Huang C., Vandewalle S. Stability of Runge-Kutta-Pouzet methods for Volterra integro-differential equations with delays // Frontiers of Mathematics in China. 2009. Vol. 4, № 1. P. 63-87.
  33. Kim B. M., Tsuruta K. Retarded resolvent operators for linear retarded functional differential equations in a Banach space // Japanese Journal of Mathematics. 1994. Vol. 20, № 2. P. 319-363.
  34. Kloeden P. E., Platen E., Schurz H. Numerical solution of SDE through computer experiments. Berlin: Springer, 2003. XIV, 292 p.
  35. Kolmanovskii V., Myshkis A. Applied theory of functional differential equations:Mathematics and its applications. Dordrecht: Springer, 1992. XVI+234 p.
  36. Koto T. Stability of ϴ-methods for delay integro-differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2003. Vol. 161, № 2. P. 393-404.
  37. Kü chler U., Platen E. Strong discrete time approximation of stochastic differential equations with time delay // Mathematics and Computers in Simulation. 2000. Vol. 54, № 1-3. P. 189-205.
  38. Kushner H. J. Numerical methods for controlled stochastic delay systems. Boston: Birkhauser, 2008. XIX+281 p.
  39. Longtin A., Milton J. G., Bos J. E., Mackey M. C. Noise and critical behavior of the pupil light reflex at oscillation onset // Physical Review A. 1990. Vol. 41, № 12. P. 6992-7005.
  40. Mangano S. Mathematica cookbook. Cambridge: O'Reilly, 2010. XXIV+800 p.
  41. Mao X. Stochastic differential equations and applications. 2nd ed. Cambridge, UK: Woodhead Publishing, 2011. XVIII+422 p.
  42. Milstein G. N., Tretyakov M. V. Stochastic numerics for mathematical physics. Berlin: Springer, 2004. XIX+594 p.
  43. Mohammed S. E. A. Stochastic functional differential equations. Boston, London: Pitman Publishing, 1984. IX+245 p.
  44. Niu Yu., Zhang Ch., Duan J. A delay-dependent stability criterion for nonlinear stochastic delay-integro-differential equations // Acta Mathematica Scientia. 2011. Vol. 31, № 5. P. 1813-1822.
  45. Padgett W. J., Tsokos C. P. Stochastic integro-differential equations of Volterra type // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1972. Vol. 23, № 4. P. 499-512.
  46. Poloskov I. E. Symbolic-numeric algorithms for analysis of stochastic systems with different forms of aftereffect // Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics (PAMM). 2007. Vol. 7, № 1. P. 2080011-2080012.
  47. Poloskov I. E. Numerical and analytical methods of study of stochastic systems with delay // Journal of Mathematical Sciences. 2018. Vol. 230, № 5. P. 746-750.
  48. Poloskov I. E, Soize C. Symbolic and numeric scheme for solution of linear integro-differential equations with random parameter uncertainties and Gaussian stochastic process input // Applied Mathematical Modelling. 2018. Vol. 56, April. P. 15-31.
  49. Shaikhet L. E., Roberts J. Reliability of difference analogues to preserve stability properties of stochastic Volterra integro-differential equations // Advances in Difference Equations. 2006. Vol. 2006. Article ID 73897. P. 1-22.
  50. Shakourifar M., Enright W. H. Reliable approximate solution of systems of Volterra integro-differential equations with time-dependent delays // SIAM Journal on Scientific Computing. 2011. Vol. 33, № 3. P. 1134-1158.
  51. Soize C., Poloskov I. Time-domain formulation in computational dynamics for linear viscoelastic media with model uncertainties and stochastic excitation // Computers & Mathematics with Applications. 2012. Vol. 64, № 11. P. 3594-3612.
  52. Touboul J. Propagation of chaos in neural fields // Annals of Applied Probability. 2014. Vol. 24, № 3. P. 1298-1328.
  53. Twardowska K., Marnik T., Pasławska-Południak M. Approximation of the Zakai equation in a nonlinear filtering problem with delay // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2003. Vol. 13, № 2. P. 151-160.
  54. Wang Z., Liu Y., Fraser K., Liu X. Stochastic stability of uncertain Hopfield neural networks with discrete and distributed delays // Physics Letters A. 2006. Vol. 354, № 4. P. 288-297.
  55. Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. New York: Springer, 1996. X+432 p.
  56. Wu Q., Hu L., Zhang Z. Convergence and stability of balanced methods for stochastic delay integro-differential equations // Applied Mathematics and Computation. 2014. Vol. 237. P. 446-460.
  57. Zhang Ch., Vandewalle S. General linear methods for Volterra integro-differential equations with memory // SIAM Journal on Scientific Computing. 2006. Vol. 27, № 6. P. 2010-2031

Полный текст (pdf)