Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

Об обратимой трехмерной системе, содержащей аттрактор и репеллер Лоренца

Автор(ы):

Александр Сергеевич Гонченко

Научный сотрудник
Нижегородский национальный исследовательский университет имени Н.И. Лобачевского,
пр.Гагарина, 23, г. Нижний Новгород, 603022, Россия

agonchenko@mail.ru

Александр Геннадьевич Коротков

ведущий инженер
Нижегородский национальный исследовательский университет имени Н.И. Лобачевского,
пр.Гагарина, 23, г. Нижний Новгород, 603022, Россия

koral81@bk.ru

Евгения Александровна Самылина

аспирант
Национальный Исследовательский Университет "Высшая Школа Экономики",
ул. Большая Печерская, 25/12, г. Нижний Новгород, 603155, Россия

samylina_evgeniya@mail.ru

Аннотация:

В работе рассматривается задача о существовании у трехмерных обратимых по времени систем аттракторов и репеллеров лоренцевского типа, а также о структуре бифуркационных сценариев их возникновения. В связи с этой задачей в работе предложена система, которая является потоковой нормальной формой обратимой бифуркации неподвижной точки с триплетом (-1,-1,+1) мультипликаторов. Само бифуркационное множество указанной обратимой бифуркации является чрезвычайно сложным (нормальная форма здесь содержит 7 независимых параметров). Однако нас интересуют здесь главным образом бифуркации, приводящие к возникновению симметричной пары "аттрактор Лоренца - репеллер Лоренца", которые, как мы показываем, могут быть изучены в рамках двухпараметрических подсемейств. В работе описаны в деталях два основных бифуркационных сценария возникновения такой пары, а также обрисован весьма необычный сценарий появления аттрактора и репеллера лоренцевского типа у системы, которая сама имеет всего два состояния равновесия. Соответствующее явление кажется новым и весьма необычным - для сравнения заметим, что даже у системы Лоренца существует три состояния равновесия: одно из них принадлежит аттрактору, а два других лежат в его "дырках".

Ключевые слова

• аттрактор Лоренца
• обратимая система
• странный аттрактор

Ссылки:

1. Lorenz E. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Т. 20. № 2. С. 130-141
2. Гонченко А. С. Об аттракторах лоренцевского типа в модели кельтского камня // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки.. 2013. Т. 2. С. 3-11.
3. Гонченко А. С., Гонченко С. В. О существовании аттракторов лоренцевского типа в неголономной модели " кельтского камня" // Нелинейная динамика. 2013. Т. 9. № 1. С. 77-89.
4. Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Kazakov A. O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Т. 15. № 5. С. 521-538
5. Gonchenko A. S., Samylina E. A. On the region of existence of a discrete Lorenz attractor in the nonholonomic model of a Celtic stone // Radiophysics and Quantum Electronics. 2019. Т. 62. № 5. С. 369-384
6. Gonchenko A. S., Samylina E. A., Korotkov A. G., Turaev D. On reversible bifurcations leading to the emergence of Lorenz-like attractor and repeller // Nonlinearity. (to appear)
7. Shilnikov A. L., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Normal forms and Lorenz attractors // Int. J. of Bifurcation and chaos. 1993. Т. 3. № 05. С. 1123-1139
8. Gonchenko S. V., Ovsyannikov I. I., Simo C., Turaev D. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors // Int. J. of Bifurcation and chaos. 2005. Т. 15. № 11. С. 3493-3508.
9. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР. 1977. Т. 234. № 2. С. 336- 339
10. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О притягивающих негрубых множествах типа аттрактора Лоренца // Труды ММОР. 1982. Т. 44. С. 150-212
11. Leonov G. A., Kuznetsov N. V. On differences and similarities in the analysis of Lorenz, Chen, and Lu systems // Applied Mathematics and Computation. 2015. № 256. С. 334—343
12. Leonov G. A., Mokaev R. N., Kuznetsov N. V., and Mokaev T. N. Homoclinic Bifurcations and Chaos in the Fishing Principle for the Lorenz-like Systems // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2020. Т. 30. № 8. С. 2050124
13. Kuznetsov N. V., Mokaev T. N., Kuznetsova O. A., Kudryashova E. V. The Lorenz system: hidden boundary of practical stability and the Lyapunov dimension // Nonlinear Dyn.. 2020. № 102. С. 713—732
14. Шильников Л. П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // Дополнение I к книге: Дж. Марсден, М. Мак- Кракен “Бифуркация рождения цикла и ее приложения”. М., Мир,. 1980. С. 19
15. Shilnikov A. L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the ShimuizuMorioka model // Physica D. 1993. № 62. С. 338-346
16. Dumortier F., Ibanez S., Kokubu H. Cocoon bifurcation in three-dimensional reversible vector fields // Nonlinearity. 2006. Т. 19. № 2. С. 305-328
17. Гонченко А. С., Гонченко С. В., Казаков А. О., Самылина Е. А. Хаотическая динамика и мультистабильность в неголономной модели кельтского камня // Изв. вузов. Радиофизика.. 2018. Т. 61. № 10. С. 867-882
18. Шильников Л. П. О рождении периодического движения из траектории, двоякоасимптотической к состоянию равновесия типа седло // Матем. сб.. 1968. Т. 77(119). № 3. С. 461-472. Электронный журнал. http://diffjournal.spbu.ru/ 16 Дифференциальные уравнения и процессы управления, N. 4, 2021
19. Aframovich V. S., Shilnikov L. P. Strange attractors and quasiattractors // in Nonlinear Dynamics and Turbulence, eds G. I. Barenblatt, G. Iooss, D. D. Joseph (Boston, Pitmen). 1983
20. Bykov V. V., Shilnikov A. L. On the boundaries of the domain of existence of the Lorenz attractor // Selecta Mathematica Sovietica. 1992. Т. 11. № 4. С. 375-382
21. Barrio R., Shilnikov A., and Shilnikov L. Kneadings, symbolic dynamics and painting Lorenz chaos // Int. J. Bifurcation Chaos. 2012. Т. 22. С. 1230016
22. Gonchenko S. Reversible Mixed Dynamics: A Concept and Examples // Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity. 2016. Т. 5. № 4. С. 365-374
23. Гонченко С. В., Тураев Д. В. О трех типах динамики и понятии аттрактора // Труды МИАН. 2017. Т. 297. С. 133-157

Полный текст (pdf)