Применение степенного преобразования к орбите 2-го уравнения Пенлеве и решение дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями через 2-й трансцендент Пенлеве и в полиномах
Автор(ы):
Зиля Наильевна Хакимова
к.ф.-м.н., доцент кафедры математики
Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского
vka@mil.ru
Лариса Николаевна Тимофеева
к.пед.н., доцент кафедры математики
Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского
vka@mil.ru
Айкануш Ашотовна Атоян
к.ф.-м.н., доцент кафедры математики
Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского
vka@mil.ru
Аннотация:
Рассматривается 2-е уравнение Пенлеве как представитель класса обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 2-го порядка с полиномиальными правыми частями, а также более общего класса уравнений 2-го порядка с дробно-полиномиальными правыми частями. Второе уравнение Пенлеве с тремя слагаемыми в правой части имеет орбиту в классе дробно-полиномиальных уравнений по псевдогруппе 36-го порядка, а при отсутствии 3-го слагаемого – 60-го порядка.
В данной работе приведено степенное преобразование с произвольным параметром, сохраняющее полиномиальный или дробно-полиномиальный вид уравнений. Это степенное преобразование применено к уравнениям орбит 2-го уравнения Пенлеве с тремя и двумя слагаемыми в правых частях уравнений. Построены псевдогруппы преобразований, индуцированные указанными выше псевдогруппами 36-го и 60-го порядков. Найдены все уравнения с одноконстантным произволом, соответствующие вершинам графов индуцированных псевдогрупп. Получены общие решения всех найденных уравнений через 2-й трансцендент Пенлеве или в полиномах. Приведена теорема, позволяющая с помощью операции масштабирования найти общие решения всех указанных выше уравнений с произвольными коэффициентами.
Ключевые слова
- 2-е уравнение Пенлеве
- 2-й трансцендент Пенлеве
- группа диэдра
- дискретная группа преобразований
- Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) 2-го порядка
- полиномиальные и дробно-полиномиальные дифференциальные уравнения
- псевдогруппа преобразований
Ссылки:
- Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. Приложения в механике, точные решения. - М. : Наука, 1993. - 464с
- Kamke E. Differentialgleichungen Losungsmethoden und Losungen. - B. G. Teubner, Leipzig, 1977. - 246 p
- Polyanin A. D., Zaytsev V. F. Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems. - CRC Press. Boca Raton - London, 2018
- Хакимова З. Н. Дискретная псевдогруппа второго уравнения Пенлеве и решения дифференциальных уравнений через второй трансцендент Пенлеве / З. Н. Хакимова // Перспективы науки. - Тамбов. - 2021. - № 5 (140). - С. 70-81
- Хакимова З. Н., Тимофеева Л. Н., Зайцев О. В. Решения в полиномах дробно-полиномиальных дифференциальных уравнений, порожденных вторым уравнением Пенлеве [Электронный ресурс] // Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2021. - N 3(7). - С. 141-152.
- Хакимова З. Н. Расширение группы диэдра для 4-го уравнения Пенлеве с помощью степенного преобразования // Перспективы науки. - Тамбов: ТМБпринт. - 2021. - № 11 (146). - С. 45-53
- Яблонский А. И. О рациональных решениях второго уравнения Пенлеве // Вести Акад. Наук БССР, Серия Физико-технических наук. - 1959. - Т. 3. С. 30-35
- Воробьев А. П. О рациональных решениях второго уравнения Пенлеве // Дифференциальные уравнения. - 1965. - Т. 1. - С. 79-81
- Хакимова З. Н., Зайцев О. В. Дробно-полиномиальные дифференциальные уравнения: дискретные группы и решения через трансцендент 1-го уравнения Пенлеве [Электронный ресурс] // Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2021. - N 1(4). - С. 62-92.
