English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Матрица спектральных плотностей решения двух линейных стохастических параболических дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями

Автор(ы):

Игорь Егорович Полосков

Пермский государственный национальный исследовательский университет,
кафедра высшей математики, заведующий кафедрой, профессор

polosk@psu.ru

Аннотация:

Данная работа посвящена распространению схемы Гийюзика (S.Guillouzic), предложенной для вычисления спектральной плотности решения одного линейного обыкновенного стохастического дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами и запаздыванием, на новый класс моделей -- системы эволюционных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных с несколькими постоянными запаздываниями. В частности, задача исследования состояла в построении явной формы матрицы спектральных плотностей стационарного векторного случайного поля состояния системы двух линейных уравнений параболического типа с постоянными коэффициентами, тремя запаздываниями и аддитивным входом в виде вектора пространственно-временных стационарных случайных полей с известными характеристиками. Кроме демонстрации методологии и получения искомых соотношений для компонент матрицы, в работе определены достаточные условия существования этих компонент в терминах коэффициентов уравнений и запаздываний. Полученные аналитические формулы использованы для расчета линий уровня авто- и кросс-спектральных плотностей компонент поля состояния при различных значениях параметров задачи. Иллюстративный материал подготовлен в среде пакета Wolfram Mathematica

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Henderson D., Plaschko P. Stochastic differential equations in science and engineering. Singapore: World Scientific, 2006. - 216 p.
  2. Mao X. Stochastic differential equations and applications. - 2nd ed. - Cambridge (UK): Woodhead Publ., 2011. - 440 p.
  3. Chow P. -L. Stochastic partial differential equations. - Boca Raton (FL): Chapman & Hall/CRC, 2015. - 326 p.
  4. Govindan T. E. Yosida approximations of stochastic differential equations in infinite dimensions and applications. - Cham (Switzerland): Springer, 2016. - 426 p.
  5. Borodin A. N. Stochastic processes. - Cham (Switzerland): Birkhä user, 2017. - 640 p.
  6. VanMarcke E. Random fields: Analysis and synthesis. - Cambridge: MIT Press, 1983. - 382 p.
  7. Mandrekar V. S., Gawarecki L. Stochastic analysis for Gaussian random processes and fields: with applications. - New York: Taylor & Francis Group, 2015. - 201 p.
  8. Шмелев А. Б. Основы марковской теории нелинейной обработки случайных полей. - М. : Изд-во МФТИ, 1998. - 208 с.
  9. Haken H. Synergetics: Introduction and advanced topics. - Berlin: Springer, 2004. - 779 p.
  10. Kü chler U., Mensch B. Langevin's stochastic differential equation extended by a time delayed term // Stochastics and Stochastic Reports. - 1992. - Vol. 40, № 1-2. - P. 23-42.
  11. Guillouzic S., L'Heureux I., Longtin A. Small delay approximation of stochastic differential delay equations // Physical Review E. - 1999. - Vol. E59, № 4. - P. 3970-3982.
  12. Guillouzic S., L'Heureux I., Longtin A. Rate processes in a stochastically driven delayed overdamped // Physical Review E. - 2000. - Vol. E61, № 5. - P. 4906-4914.
  13. Frank T. D., Beek P. J. Stationary solutions of linear stochastic delay differential equations: Applications to biological systems // Physical Review E. - 2001. - Vol. E64, № 2. - Article ID 021917. - P. 1-12.
  14. Frank T. D. Stationary distributions of stochastic processes described by a linear neutral delay differential equation // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2005. - Vol. 38, № 28. - P. L485-L490.
  15. Kinnally M. S. Stationary distributions for stochastic delay differential equations with non-negativity constraints. - Dissertation for the PhD degree. - San Diego: University of California, 2009. - 116 p.
  16. Butkovsky O., Scheutzow M. Invariant measures for stochastic functional differential equations // Electronic Journal of Probability. - 2017. - Vol. 22, № 98. - P. 1-23.
  17. Guillouzic S. Fokker-Planck approach to stochastic delay differential equations. - Thesis for the degree of PhD. - University of Ottawa, 2000. -100 p.
  18. Полосков И. Е. О применении схемы Гийюзика для расчета матрицы спектральных плотностей вектора состояния линейной стохастической системы с многими запаздываниями // Вестник Пермского ун-та. Математика. Механика. Информатика. - 2015. - Вып. 1 (28). - С. 39-44.
  19. Полосков И. Е. Стационарные характеристики решений систем линейных дифференциальных уравнений нейтрального типа с кратными запаздываниями и случайными возмущениями // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. гос. нац. иссл. ун-т. - Пермь, 2019. - Вып. 29. - С. 84-102.
  20. Pao C. V. Stability and attractivity of periodic solutions of parabolic systems with time delays // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2005. - Vol. 304, № 2. - P. 423-450.
  21. Gurevich Sv. V. Dynamics of localized structures in reaction-diffusion systems induced by delayed feedback // Physical Review E. - 2013. - Vol. E87, № 5. - Article ID 052922. - P. 1-9.
  22. Chen H. Integral inequality and exponential stability for neutral stochastic partial differential equations with delays // Journal of Inequalities and Applications (Hindawi). - 2009. - Vol. 2009. - Article ID 297478. - P. 1-15.
  23. Caraballo T., Shaikhet L. Stability of delay evolution equations with stochastic perturbations // Communications on Pure and Applied Analysis. - 2014. - Vol. 13, № 5. - P. 2095-2113.
  24. Liu K. Stationary solutions of neutral stochastic partial differential equations with delays in the highest-order derivatives // Discrete and Continuous Dynamical Systems - B. - 2018. - Vol. 23, № 9. - P. 3915-3934.
  25. Полосков И. Е. Построение спектральной плотности решения линейного стохастического дифференциального уравнения в частных производных с постоянными запаздываниями // Вестник Пермского ун-та. Математика. Механика. Информатика. - 2018. - Вып. 1 (40). - С. 36-45.
  26. Полосков И. Е. Спектральные характеристики системы двух линейных стохастических дифференциальных уравнений гиперболического типа // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. - Пермь, 2020. - Вып. 52. - С. 69-86.
  27. Wolfram St. An elementary introduction to the Wolfram Language. - Champaign (IL): Wolfram Media, 2017. - 324 p. Panchev S. Random functions and turbulence. - Oxford: Pergamon Press, 1971. - 444 p.
  28. Primak S., Kontorovich V., Lyandres V. Stochastic methods and their applications to communications: Stochastic differential equations approach. - Chichester: John Wiley & Sons, 2004. - 496 p.
  29. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. - 5-е изд. - В 3-х т. Т. 2. - М. : Дрофа, 2004. - 720 с.
  30. Кастрица О. А., Мазаник С. А., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический анализ. Ряды и несобственные интегралы: учеб. пособие. - Минск: Вышэйшая школа, 2015. - 389 с

Полный текст (pdf)