English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Точная формула для полосы захвата системы фазовой автоподстройки частоты с пропорционально-интегрирующим фильтром и кусочно-линейной характеристикой фазового детектора

Автор(ы):

Николай Владимирович Кузнецов

Д.ф.-м.н., Член-корреспондент РАН, профессор, заведующий Кафедрой прикладной кибернетики, Санкт-Петербургский государственный университет, заведующий Лабораторией информационно-управляющих систем Института проблем машиноведения РАН

nkuznetsov239@mail.ru

Михаил Юрьевич Лобачев

Ph.D., м.н.с. на Кафедре прикладной кибернетики, Санкт-Петербургский государственный университет

Аннотация:

В работе развивается наглядный подход для точного определения полосы захвата системы фазовой автоподстройки с пропорционально-интегрирующим фильтром и непрерывной кусочно-линейной характеристикой фазового детектора. Этот подход позволяет эффективно провести вывод аналитической формулы для определения полосы захвата, а также получить удобные явные консервативные оценки и асимптотические значения полосы захвата. В рамках теории скрытых колебаний представлено полное решение задачи определения границы глобальной устойчивости и выявления на ней скрытых участков, соответствующих нелокальному рождению скрытых колебаний.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Karimi-Ghartemani M. Enhanced Phase-Locked Loop Structures for Power and Energy Applications. John Wiley & Sons, 2014
  2. Kaplan E., Hegarty C. Understanding GPS/GNSS: Principles and Applications. 3rd edition. Artech House, 2017
  3. Middlestead R. Digital Communications with Emphasis on Data Modems: Theory, Analysis, Design, Simulation, Testing, and Applications. Wiley, 2017
  4. Шахгильдян В. В., Ляховкин А. А. Системы фазовой автоподстройки частоты. Москва: Связь, 1972
  5. Leonov G., Kuznetsov N. Nonlinear Mathematical Models of Phase-Locked Loops. Stability and Oscillations. Cambridge Scientific Publishers, 2014
  6. Leonov G., Reitmann V., Smirnova V. Nonlocal Methods for Pendulum-like Feedback Systems. Stuttgart-Leipzig: Teubner, 1992
  7. Леонов Г. А. Фазовая синхронизация. Теория и приложения // Автоматика и телемеханика. 2006. № 10. С. 47-85. [English transl. : Automation and Remote Control, vol. 67, no. 10, pp. 1573-1609, 2006]
  8. Tricomi F. Integrazione di un’equazione differenziale presentatasi in elettrotecnica // Annali della Scuola Normale Superiore de Pisa (in Italian). 1933. Vol. 2, no. 2. P. 1-20
  9. Капранов М. В. Полоса захвата при фазовой автоподстройке частоты // Радиотехника. 1956. Т. 11, № 12. С. 37-52
  10. Губарь Н. А. Исследование одной кусочно-линейной динамической системы с тремя параметрами // Прикладная математика и механика. 1961. Т. 25, № 6. С. 1011-1023. [English transl. : Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vol. 25, no. 6, pp. 1519-1535, 1961]
  11. Cahn C. Piecewise linear analysis of phase-lock loops // IRE Transactions on Space Electronics and Telemetry. 1962. no. 1. P. 8-13
  12. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. 2-е издание. М. : Физ. Мат. Лит., 1959. [English transl. :Andronov A. A., Vitt E. A., Khaikin S. E. Theory of Oscillators. Pergamon Press. 1966]
  13. Андронов А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М. -Л. : ОНТИ, 1937. [English transl. : Andronov A. A., Chaikin S. E. Theory of Oscillations. Princeton University Press. 1949]
  14. Шахтарин Б. И. Исследование кусочно-линейной системы ФАП // Радиотехника и электроника. 1969. № 8. С. 1415-1424. [English transl. : Radio Engineering and Electronic Physics, no. 8, pp. 1224-1230, 1969]
  15. Белюстина Л. Н., Быков В. В., Кивелева К. Г., Шалфеев В. Д. О величине полосы захвата системы ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром // Изв. вузов. Радиофизика. 1970. Т. 13, № 4. С. 561-567. [English transl. : Radiophysics and Quantum Electronics, vol. 13, no. 4, pp. 437-440, 1970]
  16. Blanchard A. Phase-Locked Loops. Wiley, 1976
  17. Egan W. Phase-Lock Basics. 2nd edition. New York: John Wiley & Sons, 2007
  18. Kuznetsov N., Lobachev M., Yuldashev M. et al. Piecewise-linear analysis of the pull-in range for second-order PLLs // 2023 European Control Conference Proceedings. 2023. P. 2083-2088. https://doi.org/10.23919/ECC57647.2023.10178196
  19. Kuznetsov N., Lobachev M., Kudryashova E. et al. The Viterbi problem on coincidence of phase-locked loop lock-in, pull-in, and hold-in ranges // Nonlinear Dynamics. 2025. https://doi.org/10.1007/s11071-025-11040-3
  20. Первачев С. В. О полосе захвата системы фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника и электроника. 1963. Т. 8, № 2. С. 334-337. [English transl. : Radio Engineering and Electronic Physics, vol. 8, no. 2, pp. 287-290, 1963]
  21. Protonotarios E. Pull-in performance of a piecewise linear phase-locked loop // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 1969. Vol. AES-5, no. 3. P. 376-386
  22. Сафонов В. М. О влиянии формы пилообразной характеристики фазового детектора на полосу захвата ФАП // Радиотехника. 1969. Т. 24, № 6. С. 76-80
  23. Шахтарин Б. И. Анализ кусочно-линейных систем с фазовым регулированием. Москва: Машиностроение, 1991
  24. Шахтарин Б. И. Анализ систем синхронизации методом усреднения. Москва: Радио и связь, 1999
  25. Белюстина Л. Н., Кивелева К. Г., Шалфеев В. Д. Применение ЭВМ к расчету полосы захвата нелинейных систем фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника. 1972. Т. 27, № 7. С. 36-39. [Доложено на II Всесоюзном научно-техническом семинаре “Исследование нелинейных радиотехнических систем с помощью ЭВМ”, октябрь 1969 г., Ереван, English transl. : Radio Engineering, vol. 27, no. 7, pp. 86-89, 1972]
  26. Матросов В. В. Моделирование систем: анализ динамики и расчет динамических характеристик системы ФАП с пропорционально-интегрирующим фильтром: Учебно-методическое пособие. Нижний Новгород: Издательство Нижегородского Государственного университета, 2012. http://old.rf.unn.ru/rus/ktk/sites/default/files/manual_ matrosov_modelling_fap. pdf
  27. Белюстина Л. Н., Белых В. Н. Качественное исследование динамической системы на цилиндре // Дифференциальные уравнения. 1973. Т. 9, № 3. С. 403-415. [Englishtransl. :DifferentialEquations, vol. 9, pp. 309-321, 1973]
  28. Баутин Н. Н. Качественное исследование одного уравнения теории фазовой автоподстройки частоты // Прикладная математика и механика. 1970. Т. 34, № 5. С. 850-860. [English transl. : Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vol. 34, no. 5, pp. 812-821, 1970]
  29. Lindsey W. Synchronization systems in communication and control. New Jersey: Prentice-Hall, 1972
  30. Mengali U. Acquisition behavior of generalized tracking systems in the absence of noise // IEEE Transactions on Communications. 1973. Vol. 21, no. 7. P. 820-826
  31. Endo T. A review of chaos and nonlinear dynamics in phase-locked loops // Journal of the Franklin Institute. 1994. Vol. 331, no. 6. P. 859-902
  32. Best R. Phase-Locked Loops: Design, Simulation and Application. 6th edition. McGraw-Hill, 2007. P. 490
  33. Stensby J. The separatrix cycle for a class of phase-locked loops // Proceedings of the Twenty-Seventh Southeastern Symposium on System Theory / IEEE. 1995. P. 154-158
  34. Stensby J. Phase-Locked Loops: Theory and Applications. Taylor & Francis, 1997. P. 382
  35. Stensby J. An exact formula for the half-plane pull-in range of a PLL // Journal of the Franklin Institute. 2011. Vol. 348, no. 4. P. 671-684
  36. Brunk M., Rosenkranz W. The pull-in range of imperfect second-order phase- locked loops with piecewise linear phase-detector characteristics // AEU. 1979. Vol. 33. P. 484-490
  37. Системы фазовой синхронизации / Под ред. В. В. Шахгильдян, Л. Н. Белюстина. Радио и связь, 1982
  38. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. Москва: Наука, 1990
  39. Капранов М. В. Элементы теории систем фазовой синхронизации. Издательство МЭИ, 2006
  40. Матросов В. В., Шалфеев В. Д. Нелинейная динамика систем фазовой синхронизации. Н. Новгород, 2013
  41. Леонов Г. А., Селеджи С. М. Системы фазовой синхронизации в аналоговой и цифровой схемотехнике. СПб. : Невский диалект, 2002
  42. Margaris N. Theory of the Non-Linear Analog Phase Locked Loop. New Jersey: Springer Verlag, 2004. P. 287
  43. Harb B., Al-Ajlouni A., Eyadeh A. A Collocation-Based Algorithm for Analyzing Bifurcations in Phase Locked Loops with Tanlock and Sawtooth Phase Detectors // Mathematical Problems in Engineering. 2018. Vol. 2018. P. 1-7
  44. Harb B., Jaradat E. Computing the Pull-in Range of Phase Locked Loop Using Particle Swarm Optimization // 2023 International Conference on Intelligent Computing, Communication, Networking and Services (ICCNS) / IEEE. 2023. P. 267-271
  45. Leonov G., Kuznetsov N. Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractors in Chua circuits // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2013. Vol. 23, no. 1. art. num. 1330002. https://doi.org/10.1142/S0218127413300024
  46. Dudkowski D., Jafari S., Kapitaniak T. et al. Hidden attractors in dynamical systems // Physics Reports. 2016. Vol. 637. P. 1-50
  47. Kuznetsov N., Leonov G., Yuldashev M., Yuldashev R. Hidden attractors in dynamical models of phase-locked loop circuits: limitations of simulation in MATLAB and SPICE // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. Vol. 51. P. 39-49. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2017.03.010
  48. Kuznetsov N., Yuldashev M., Yuldashev R. et al. Comments on van Paemel’s mathematical model of charge-pump phase-locked loop // Differencialnie Uravnenia i Protsesy Upravlenia (Differential Equations and Control Processes). 2019. no. 1. P. 109-120. https://diffjournal.spbu.ru/pdf/19107-jdecp-kuznetsov.pdf
  49. Кузнецов Н. Теория скрытых колебаний и устойчивость систем управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 2020. № 5. С. 5-27
  50. Благов М. В., Кузнецов Н. В., Лобачев М. Ю., Шахтарин Б. И., Юлдашев М. В., Юлдашев Р. В. Нелинейный анализ и синтез системы фазовой автоподстройки частоты: гипотеза Капранова и скрытые колебания // Материалы 15-й мультиконференции по проблемам управления. 2022. С. 212-213
  51. Kuznetsov N., Arseniev D., Blagov M. et al. The Gardner problem and cycle slipping bifurcation for type-2 phase-locked loops // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2022. Vol. 32, no. 9. art. num. 2250138. https://doi.org/10.1142/S0218127422501383
  52. Кузнецов Н. В., Лобачев М. Ю., Мокаев Т. Н. Скрытая граница глобальной устойчивости в контрпримере к гипотезе Капранова о полосе захвата // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. 2023. Т. 512. С. 69-77. [English transl. : Doklady Mathematics, vol. 108, no. 4, pp. 300-308, 2023]
  53. Gardner F. Phaselock Techniques. 3rd edition. New York: John Wiley & Sons, 2005. P. 550
  54. Kolumban G. Phase-locked loops // Encyclopedia of RF and Microwave Engineering (Ed. Rodenbeck., C. T. ). New York, NY, USA: Wiley, 2024
  55. Leonov G., Kuznetsov N., Yuldashev M., Yuldashev R. Hold-in, pull-in, and lock-in ranges of PLL circuits: rigorous mathematical definitions and limitations of classical theory // IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Regular Papers. 2015. Vol. 62, no. 10. P. 2454-2464
  56. Best R., Kuznetsov N., Leonov G. et al. Tutorial on dynamic analysis of the Costas loop // IFAC Annual Reviews in Control. 2016. Vol. 42. P. 27-49. https://doi.org/10.1016/j.arcontrol.2016.08.003
  57. Kuznetsov N., Lobachev M., Yuldashev M. et al. The Gardner problem on the lock-in range of second-order type 2 phase-locked loops // IEEE Transactions on Automatic Control. 2023. Vol. 68, no. 12. P. 7436-7450. https://doi.org/10.1109/TAC.2023.3277896
  58. Kuznetsov N., Lobachev M., Yuldashev M., Yuldashev R. Bifurcation analysis of the boundary of global stability of type 1 PLL // 2023 European Control Conference Proceedings. 2023. P. 1107-1112. https://doi.org/10.23919/ECC57647.2023.10178377
  59. Kuznetsov N., Lobachev M., Yuldashev M., Yuldashev R. On the pull-in and hold-in ranges of type 1 PLL with piecewise-linear phase detector characteristic // IFAC-PapersOnLine (22th IFAC World Congress). 2023. Vol. 56, no. 2. P. 6411-6416. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2023.10.843
  60. Leonov G., Kuznetsov N., Kiseleva M., Mokaev R. Global problems for differential inclusions. Kalman and Vyshnegradskii problems and Chua circuits // Differencialnie Uravnenia i Protsesy Upravlenia (Differential Equations and Control Processes). 2017. no. 4. P. 1-52
  61. Кузнецов Н. В., Лобачев М. Ю. Анализ разрывных моделей фазовой автоподстройки // XIV Всероссийское Совещание по Проблемам Управления ВСПУ-2024: Труды. 2024. С. 797-801

Полный текст (pdf)