ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

Представление общего решения уравнения типа Коши-Римана с сингулярной окружностью и особой точкой

Автор(ы):

Абдурауф Бабаджанович Расулов

ФГБОУ ВО «НИУ «МЭИ»
(Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Национальный исследовательский университет «МЭИ»),
доцент кафедры высшей математики,
кандидат физ-мат. наук, доцент

rasulov_abdu@rambler.ru

Машхура Абдухафизовна Бободжанова

Кафедра высшей математики,
Национальный исследовательский университет МЭИ,
Москва

bobojanova@mpei.ru

Юрий Сергеевич Федоров

ФГБОУ ВО «НИУ «МЭИ»
(Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Национальный исследовательский университет «МЭИ»),
доцент кафедры высшей математики

Аннотация:

В теории дифференциальных уравнений в частных производных особое место занимает система уравнений Коши-Римана с регулярными и сингулярными коэффициентами. Уравнения с регулярными коэффициентами достаточно глубоко исследованы, чего нельзя сказать о системе уравнений Коши-Римана с сингулярными коэффициентами. Применение таких систем во многих прикладных задачах привлекает внимание исследователей к этой теории. Заметим, что в работах многих авторов решения системы Коши-Римана с сингулярной точкой найдены в виде рядов, а компактность основного интегрального оператора доказана только в достаточно малой окрестности сингулярной точки или в условиях типа малости на коэффициенты уравнения. Ранее дифференциальные уравнения с сингулярной точкой и одной сингулярной линией исследовались отдельно. Получение интегральных представлений общего решения уравнений с оператором Коши-Римана с особенностями в коэффициентах по различным многообразиям до сих пор мало исследовано, хотя существует много примеров, подтверждающих прикладное значение таких уравнений. В связи с этим объектом наших исследований являются дифференциальные уравнения с сингулярной точкой и отрезками, или с более сложными сингулярными многообразиями, например, с окружностью. В настоящей работе рассматривается обобщенная система типа Коши-Римана с комплексным сопряжением, коэффициенты которой допускают особенности на окружности и в точке. На основе построенной резольвенты интегрального уравнения найдено интегральное представление общего решения. Во всех этих случаях выделяется особая часть решений, позволяющая детально изучить поведение решений в окрестности сингулярного многообразия. Таким образом, интегральное представление общего решения может быть применимо к исследованию краевых задач.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. А. В. Бицадзе, Некоторые классы уравнений в частных производных, Наука, М., 1981
  2. Bers L. Theory of Pseudo Analityc Functions. Lecture Notes. - NewYork. - 1953
  3. И. Н. Векуа, Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, М., 1959
  4. Л. Г. Михайлов, Новые классы особых интегральных уравнений и ихприменение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффи-циентами, ТаджикНИИНТИ, Душанбе, 1963
  5. З. Д. Усманов, Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точ-кой, Душанбе, Изд. АН Тадж. ССР, 1993
  6. Н. Р. Раджабов, Введение в теорию дифференциальных уравнений вчастных производных со сверхсингулярными коэффициентами, Изд. ТГУ, Душанбе, 1992
  7. А. Тунгатаров, С. А. Абдыманапов, Некоторые классы эллиптиче-ских систем на плоскости с сингулярными коэффициентами, Г- ылым, Ал-маты, 2005
  8. Begehr H, Dao-Qing Dai. On continuous solutions of a generalized CauchyRiemann system with more than one singularity // J. Differential Equations. - 2004. - Vol. 196. - P. 67 - 90
  9. Reissig M., Timofeev A. Dirichlet problems for generalized CauchyRiemann systems with singular coefficients // Complex Variables. - 2005. - Vol. 50. -№ 7(11). - P. 653 - 672
  10. Meziani A. Representation of solutions of a singular CR equation in the plane // Complex Var. and Elliptic Eq. - 2008. - Vol. 53. - P. 1111 - 1130
  11. Н. И. Мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения, Наука, М., 1968
  12. А. Б. Расулов, Интегральное представления для обобщенной системы Коши-Римана с сингулярными коэффициентами. Проблем математическо-го анализа, т. 80, 2015, 89-95
  13. А. П. Солдатов, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной ака-демии наук, 2009, Т. 11, 1, 74-78
  14. И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовыхпространствах, М., Мир, 1974
  15. У. Рудин, Функциональный анализ, М., Мир, 1975

Полный текст (pdf)