English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Устойчивость и сходимость монотонных разностных схем, аппроксимирующих краевые задачи для интегро-дифференциального уравнения с дробной по времени производной и оператором Бесселя

Автор(ы):

Зарьяна Владимировна Бештокова

Младший научный сотрудник отдела Вычислительных методов
Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН

zarabaeva@yandex.ru

Мурат Хамидбиевич Бештоков

Ведущий научный сотрудник отдела Вычислительных методов
Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН

beshtokov-murat@yandex.ru

Аннотация:

Изучены краевые задачи для интегро-дифференциального уравнения с дробной по времени производной и оператором Бесселя. Для решения рассматриваемых задач получены априорные оценки в дифференциальной трактовке, из чего следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части. Для численного решения краевых задач построены монотонные разностные схемы с направленными разностями и для них доказываются аналоги априорных оценок, приводятся оценки погрешности при предположении достаточной гладкости решений уравнений. Из полученных априорных оценок в разностной форме следуют единственность и устойчивость решения по начальным данным и правой части, а также в силу линейности разностных задач сходимость со вторым порядком по параметрам сетки. Предложен алгоритм приближенного решения краевой задачи с условием третьего рода, проведены численные расчеты тестового примера, иллюстрирующего полученные в работе теоретические результаты, касающиеся сходимости и порядка аппроксимации разностной схемы.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Нахушев, A. M. Дробное исчисление и его применение. - М. : Физматлит, 2003. - 301с
  2. Учайкин, В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Издательство «Артишок», 2008. - 512с
  3. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 687с
  4. Podlubny, I. Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, 1999. - 340с
  5. Kilbas A. A., Trujillo J. J. Differential equations of fractional order: methods, results and problems, I. Appl. Anal., 2001, т. 78. - С. 153-192
  6. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткий И. А. Численные методы решения уравнения дробной диффузии с дробной производной по времени в одномерном случае. М. : Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН. 2003 . - 35с
  7. Таукенова, Ф. И., Шхануков-Лафишев М. Х. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2006, т. 46, №10 . - С. 1871-1881
  8. Diethelm, K. Walz, G. Numerical solution of fractional order differential equations by extrapolation, Numer. Algorithms, 1997, №16 . - С. 231-253
  9. Алиханов, А. А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения, 2010, т. 46, №5 . - С. 660-666
  10. Alikhanov, A. A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation. // Journal of Computational Physics, 2015, №280 . - С. 424-438
  11. Бештоков, М. Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для вырождающихся и невырождающихся псевдопараболических уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля // Дифференц. уравнения, 2018, т. 54, №6 . - С. 763-778
  12. Бештоков, М. Х. К краевым задачам для вырождающихся псевдопараболических уравнений с дробной производной Герасимова-Капуто // Известия вузов. Математика, 2018, №10 . - С. 3-16
  13. Бештоков, М. Х. Краевые задачи для нагруженных псевдопараболических уравнений дробного порядка и разностные методы их решения // Известия вузов. Математика, 2019, №2. - С. 3-12
  14. Бештоков, М. Х. Разностный метод решения нелокальной краевой задачи для вырождающегося псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2016, т. 56, №10. - С. 1780-1794
  15. Бештоков, М. Х. Краевые задачи для вырождающихся и невырождающихся уравнений соболевского типа с нелокальным источником в дифференциальной и разностной трактовках // Дифференц. уравнения, 2018, т. 54, №2 . - С. 249-266
  16. Самарский, А. А. Теория разностных схем. М. : Наука, 1983. - 616с
  17. Самарский, А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М. : Наука, 1973. - 416с

Полный текст (pdf)