Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О корректности задачи Дирихле для уравнений с гессиановскими операторами

Автор(ы):

Светлана Ивановна Прокофьева

к. ф.-м.н.,доцент кафедры Математика Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (СПбГАСУ).

prokof_1960@mail.ru

Галина Владимировна Якунина

к. ф.-м.н.,доцент кафедры Математика Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (СПбГАСУ).

yakuninagalina@yandex.ru

Татьяна Владимировна Рябикова

к. ф.-м.н.,зав. кафедрой Математика Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (СПбГАСУ).

tanya.dovid@gmail.com

Аннотация:

В статье рассматриваются полностью нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, называемые гессиановскими, т.е. зависящими только от вторых производных решений. Проведено сравнение важности понятия эллиптичности для линейных и гессиановских дифференциальных уравнений. В работе приведен пример уравнения, показывающий, что множество эллиптичности оператора не является корректным для разрешимости задачи Дирихле. Предложено альтернативное множество – конус положительной монотонности оператора, в котором задача Дирихле имеет единственное решение. Из примера следует, что задача Дирихле имеет, по крайней мере, два различных решения, удовлетворяющих условию эллиптичности, но одно из них из конуса, а другое в конус не входит.

Ключевые слова

• гессиановские уравнения
• конус Гординга
• монотонный оператор
• эллиптичность

Ссылки:

1. Прокофьева С. И., Якунина Г. В. О понятии эллиптичности для полностью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка//Эл. Журнал Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2012. №1. 142-145с
2. Гилбарг Д., Трудингер М., Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка: Пер. с англ. /Под ред. А. К. Гущина. -М. : Наука, 1989. 464с
3. Ивочкина Н. М. Описание конусов устойчивости, порождаемых дифференциальными операторами типа Монжа-Ампера// Мат. Сборник. 1983. Т122(164), №2(10), 265-275с
4. Ивочкина Н. М. Решение задачи Дирихле для некоторых уравнений типа Монжа- Ампера// Мат. Сборник. 1985. Т 128(170), №3(11), 403-415с
5. Ивочкина Н. М., Якунина Г. В., Прокофьева С. И. Конусы Гординга всовременной теории полностью нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка// Проблемы мат. анализа. 2012. Вып. 64, 63-80с
6. Caffarelly L., Nirenberg L., Spruck J. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations III. Functions of the eigenvalues of theHessian // Acta Math. 1985. V155, 261-301p
7. Garding L. An inequality for hyperbolic polynomials //J. Math. Mech. 1959. V. 8. 957-965p
8. Филимоненкова Н. В. О классической разрешимости задачи Дирихле для невырожденных m-гессиановских уравнений// Проблемы мат. анализа. 2011. Вып. 60, 89-110с

Полный текст (pdf)