English version
ISSN 1817-2172, рег. Эл. № ФС77-39410, ВАК

Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

О журнале История Журнала Издатель Адреса Тематика Редакторский состав Рецензирование Для авторов Издательская этика Коллекция номеров English version

Неявные разностные схемы для одномерных уравнений гемодинамики

Автор(ы):

Герасим Владимирович Кривовичев

д. ф.-м. н., доцент кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета Прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета (СПбГУ)

g.krivovichev@spbu.ru

Николай Васильевич Егоров

д.ф-м.н., профессор, заведующий кафедрой моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета Прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета (СПбГУ)

n.v.egorov@spbu.ru

Аннотация:

Работа посвящена построению и анализу неявных конечно-разностных схем для системы одномерных уравнений гемодинамики. Схемы строятся на основе конечных разностей, аппроксимирующих с четвертым порядком производную по пространственной переменной. Схемы основаны на методе расщепления по физическим процессам, в рамках которого на одном шаге по времени рассматривается процесс деформации сосуда, заполненного жидкостью, а затем вычисляется скорость потока в деформированном сосуде. Такой подход позволяет раздельно применять разностные схемы, аппроксимирующие уравнения системы. При практической реализации разностных схем они сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений с пятидиагональными матрицами. Анализ устойчивости построенных схем производится с помощью метода фон Неймана и принципа замороженных коэффициентов. При численном решении задач с известными аналитическими решениями показано, что схемы позволяют получать численные решения, сходящиеся с четвертым порядком по пространству. При проведении вычислительных экспериментов по моделированию кровотока в модельных сосудистых системах показано, что разработанные схемы позволяют производить расчеты за меньшее время, чем известные из литературы явные конечно-разностные и конечно-объемные схемы.

Ключевые слова

Ссылки:

  1. Quarteroni A., Manzoni A., Vergara C. The cardiovascular system: mathematical modelling, numerical algorithms and clinical applications. Acta Numerica, 2017; (26): 365-590
  2. Audebert C., Bucur C., Bekheit M., Vibert E., Vignon-Clementel I., Gerbeau J. Kinetic scheme for arterial and venous blood flow, and application to partial hepatectomy modeling. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2017; (314): 102-125
  3. Marchandise E., Willemet M., Lacroix V. A numerical hemodynamic tool for predictive vascular surgery. Medical Engineering and Physics, 2009; (31): 131-144
  4. Toro E. F. Brain venous haemodynamics, neurological diseases and mathematical modelling: a review. Applied Mathematics and Computation, 2015; (272): 542-579
  5. Dobroserdova T., Liang F., Panasenko G., Vassilevski Y. Multiscale models of blood flow in the compliant aortic bifurcation. Applied Mathematics Letters, 2019: (93): 98-104
  6. Xiao N., Alastruey J., Figueroa C. A systematic comparison between 1-D and 3-D hemodynamics in compliant arterial models. International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, 2014; (30): 203-231
  7. Delestre O., Lagree P. -Y. A 'well-balanced' finite volume scheme for blood flow simulation. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2013; (72): 177-205
  8. Delestre O., Ghigo A. R., Fullana J. -M., Lagree P. -Y. A shallow water with variable pressure model for blood flow simulation. Networks and Heterogeneous Media, 2016; (11), no. 1: 69-87
  9. Ghigo A. R., Delestre O., Fullana J. -M., Lagree P. -Y. Low-Shapiro hydrostatic reconstruction technique for blood flow simulation in large arteries with varying geometrical and mechanical properties. Journal of Computational Physics, 2017; (331): 108-136
  10. Cavallini N., Caleffi V., Coscia V. Finite volume and WENO scheme in one-dimensional vascular system modelling. Computers and Mathematics with Applications, 2008; (56), no. 9: 2382-2397
  11. Huang P. G., Muller L. O. Simulation of one-dimensional blood flow in networks of human vessels using a novel {TVD} scheme. International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, 2015; (31), no. 1: e02701
  12. Wang X., Fullana J. -M., Lagree P. -Y. Verification and comparison of four numerical schemes for a {1D} viscoelastic blood flow model. Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering, 2015; (18): 1704-1725
  13. Bessems D., Rutten M., van de Vosse F. A wave propagation model of blood flow in large vessels using an approximate velocity profile function. Journal of Fluid Mechanics, 2007; (580): 145-168
  14. Malossi A. C. I., Blanco P. J., Deparis S. A two-level time step technique for the partitioned solution of one-dimensional arterial networks. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2012; (237-240): 212-226
  15. Melicher V., Gajdosik V. A numerical solution of a one-dimensional blood flow model - moving grid approach. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2008; (215), no. 2: 512-520
  16. Sherwin S. J., Formaggia L., Peiro J., Franke V. Computational modelling of {1D} blood flow with variable mechanical properties and its application to the simulation of wave propagation in the human arterial system. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2003; (43): 673-700
  17. Elad D., Katz D., Kimmel E., Einav S. Numerical schemes for unsteady fluid flow through collapsible tubes. Journal of Biomedical Engineering, 1991; (13), no. 1: 10-18
  18. Smith N. P., Pullan A. J., Hunter P. J. An anatomically based model of transient coronary blood flow in the heart. SIAM Journal on Applied Mathematics, 2002; (62): 990-1018
  19. Duanmu Z., Chen W., Gao H., Yang X., Luo X., Hill N. A. A one-dimensional hemodynamic model of the coronary arterial tree. Frontiers in Physiology, 2019; (10): 853
  20. Olufsen M. S., Peskin C. S., Kim W. Y., Pedersen E. M., Nadim A., Larsen J. Numerical simulation and experimental validation of blood flow in arteries with structured-tree outflow conditions. Annals of Biomedical Engineering, 2000; (28): 1281-1299
  21. Saito M., Ikenaga Y., Matsukawa M., Watanabe Y., Asada T., Lagree P. -Y. One-dimensional model for propagation of a pressure wave in a model of the human arterial network: comparison of theoretical and experimental results. Journal of Biomechanical Engineering, 2011; (133): 121005
  22. Azer K., Peskin C. S. A one-dimensional model of blood flow in arteries with friction and convection based on the Womersley velocity profile. Cardiovascular Engineering, 2007; (7): 51-73
  23. Diem A. K., Bressloff N. M. VaMpy: A Python package to solve 1D blood flow problems. Journal of Open Research Software, 2017; (5): 17
  24. Huo Y., Kassab G. S. A hybrid one-dimensional/Womersley model of pulsatile blood flow in the entire coronary arterial tree. American Journal of Physiology-Heart and Circulatory Physiology, 2007; (292), no. 6: H2623-H2633
  25. Watanabe S. M., Blanco P. J., Feijoo R. A. Mathematical model of blood flow in an anatomically detailed arterial network of the arm. ESAIM: M2AN, 2013; (47), no. 4: 961-985
  26. Carson J., van Loon R. An implicit solver for {1D} arterial network models. International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, 2017; (33), no. 7: e2837
  27. Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения. М. : Мир, 1981. 624 с
  28. Formaggia L., Lamponi D., Quarteroni A. One-dimensional models for blood flow in arteries. Journal of Engineering Mathematics, 2003; (47): 251-276
  29. Ghigo A. R., Lagree P. -Y., Fullana J. -M. A time-dependent non-{Newtonian} extension of a 1D blood flow model. Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics, 2018; (253): 36-49
  30. Puelz C., Canic S., Riviere B., Rusin C. G. Comparison of reduced models for blood flow using Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods. Applied Numerical Mathematics, 2017; (115): 114-141
  31. Krivovichev G. V. Computational analysis of one-dimensional models for simulation of blood flow in vascular networks. Journal of Computational Science, 2022; (62): 101705
  32. Britton J., Xing Y. Well-balanced discontinuous Galerkin methods for the one-dimensional blood flow through arteries model with man-at-eternal-rest and living-man equilibria. Computers and Fluids, 2020; (203): 104493
  33. Sheng W., Zheng Q., Zheng Y. The Riemann problem for a blood flow model in arteries. Communications in Computational Physics, 2020; (27): 227-250
  34. Toro E. F., Siviglia A. Flow in collapsible tubes with discontinuous mechanical properties: Mathematical model and exact solutions. Communications in Computational Physics, 2013; (13): 361-385
  35. Spiller C., Toro E. F., Vazquez-Cendon M. E., Contarino C. On the exact solution of the Riemann problem for blood flow in human veins, including collapse. Applied Mathematics and Computation, 2017; (303): 178-189
  36. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. 196 с
  37. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М. : Наука, 1978. 592 с
  38. Richtmyer R. D., Morton K. W. Difference Methods for Initial-Value Problems. Florida, Krieger Publishing, 1967. 420 p
  39. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М. : Наука, 1973. 415 с
  40. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П.. Кобельков Г. М. Численные методы. М. : Лаборатория знаний, 2020. 636 с
  41. Boileau E., Nithiarasu P., Blanco P. J., Muller L. O., Fossan F. E., Hellevik L. R., Donders W. ~P., Huberts W., Willemet M., Alastruey J. A benchmark study of numerical schemes for one-dimensional arterial blood flow modeling. International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering, 2015; (31): 1-33
  42. Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные методы. М. : Юрайт, 2018. 314 с
  43. Hedstrom G. W. Nonreflecting boundary conditions for nonlinear hyperbolic systems. Journal of Computational Physics, 1979; (30), no. 2: 222-237
  44. Xiu D., Sherwin S. J. Parametric uncertainty analysis of pulse wave propagation in a model of a human arterial network. Journal of Computational Physics, 2007; (226), no. 2: 1385-1407
  45. Razavi M. S., Shirani E. Development of a general methods for designing microvascular networks using distribution of wall shear stress. Journal of Biomechanics, 2013; (46): 2303-2309

Полный текст (pdf)