Дифференциальные Уравнения
и
Процессы Управления

Сингулярно возмущенные задачи с ядрами, зависящими от фундаментальных решений интегро-дифференциальных уравнений

Автор(ы):

Абдухафиз Абдурасулович Бободжанов

Профессор, доктор физ.-мат.наук, профессор кафедры высшей математики,
Национальный исследовательский университет МЭИ, Москва

bobojonova@mpei.ru

Машхура Абдухафизовна Бободжанова

Доцент, кандидат физ.-мат.наук, доцент кафедры высшей математики,
Национальный исследовательский университет МЭИ, Москва

bobojonovaMA@mpei.ru

Валерий Федорович Сафонов

Профессор, доктор физ.-мат.наук, профессор кафедры высшей математики, Национальный исследовательский университет МЭИ, Москва

Singsaf@yandex.ru

Аннотация:

В статье рассматривается система двух сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ), первое из которых является однородным уравнением, а второе — неоднородным, с интегральным оператором, ядро которого содержит фундаментальное решение первой ИДУ. Классический случай, когда ядро зависит от быстро меняющейся скалярной экспоненты, посвящено большое количество работ (см. библиографию в конце статьи). Случай зависимости ядра от фундаментальных решений дифференциальных систем подробно изучен в монографии авторов А.А. Бободжанова и В.Ф. Сафонова «Сингулярно возмущенные интегральные и интегродифференциальные уравнения с быстро меняющимися ядрами и уравнения с дигональным вырождением ядра», опубликованной в Спутник+ в 2017 году. Как показано в данной работе, сложность построения регуляризованной (в смысле Ломова) асимптотики ИДУ обусловлена сложной структурой асимптотических решений фундаментальных решений однородных дифференциальных уравнений. Проблема построения асимптотики фундаментального решения однородного ИДУ и ее влияния через ядро на регуляризованную асимптотику неоднородного ИДУ до сих пор не исследована. В настоящей работе восполняется этот пробел. Сначала строится регуляризованная асимптотика фундаментального решения однородного ИДУ, а затем разрабатывается алгоритм построения асимптотического решения неоднородного ИДУ. Показано, что (в отличие от асимптотики с ядром, зависящим от фундаментального решения однородного дифференциального уравнения) асимптотика решения неоднородного ИДУ будет содержать помимо быстро меняющихся членов еще и медленно меняющиеся компоненты, индуцированные асимптотикой фундаментального решения.

Ключевые слова

• асимптотика фундаментальных решений
• регуляризация
• сингулярно возмущенные интегро-дифференциальные уравнения

Ссылки:

1. С. А. Ломов, Введение в общую теорию сингуляярных воззмущений}, Москва, Наука, 1981
2. A. A. Bobodzhanov, V. F. Safonov, Volterra integral equations with rapidly varying kernels and their asymptotic integration, Math. Sb., 192:8 (2001), 53-78, Sb. Math., 192:8 (2001), 1139-1164
3. V. F. Safonov, B. T. Kalimbetov, Regularization method for systems with unstable spectral value of the kernel of the integral operator, Differen. Uravn., 31:4 (1995), Differen. Equ., 647-656
4. S. A. Lomov, Single-valued solvability of some matrix partial differential equations, Matem. zametki(1977), 525-530, 21:4 (1977), Math. Notes, 21:4 (1977), 293-296
5. М. И. Иманалиев, Колебания и устойчивость решений сингулярно возмущенныых интегро-диффференциальных систем, Фрунзе: «Илим», 1974
6. A. A. Bobodzhanov, V. F. Safonov, Singularly perturbed nonlinear integro-differential systems with rapidly changing kernel, Matem. zametki, 72:5 (2002), 654-664, Math. Notes, 72:5 (2002), 605-614
7. С. А. Ломов,. И. С Ломов, Основы математической теории пограничного слоя, Изд. Московского университета, Москва, 2011
8. V. F. Safonov, Tuychiyev O. D, Regularization of singularly perturbed integral equations with rapidly varying kernels and their asymptotics, Differen. Uravnen, 33:9 (1997), 1199-1210; Differen. Equ. 33:9 (1997), 1203-1215 9 A. A. Bobodzhanov, V. F. Safonov, Asymptotic solutions of an integro-differential system with rapidly changing kernels of a special type, Bulletin of the MEI., №6(2011), 47-56
9. V. F. Safonov, A. A. Bobodzhanov, { Курс высшей математики. Сингулярно возмущенные задачи и метод регуляризации: учебное пособие, Издательский дом МЭИ, Москва, 2012

Полный текст (pdf)