Эргашбой Мухамадиев
доктор физико-математических наук,профессор,
профессор кафедры математики и информатики,
Вологодский государственный университет
Алижон Набиджанович Наимов
доктор физико-математических наук,профессор,
профессор кафедры математики и информатики,
Вологодский государственный университет
Исследована периодическая задача c периодом равным $1$ для двумерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, в которой главная нелинейная часть порождена многочленом от одного комплексного переменного. Доказано, что если выпуклая оболочка корней порождающего многочлена не содержит чисел кратных 2 i*pi, то имеет место априорная оценка для решений периодической задачи. В условиях априорной оценки, применяя методы вычисления вращения векторных полей, доказана разрешимость периодической задачи при любом возмущении из заданного класса. Рассматриваемая система уравнений не сводится к аналогичной системе уравнений первого порядка с главной положительно однородной нелинейной частью. Для систем уравнений первого порядка периодическая задача исследована в работах В.А. Плисса, М.А. Красносельского и их последователей с применением методов априорной оценки и вычисления вращения векторных полей. Известно, что априорная оценка решений краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка сопряжена с трудностями, связанными с оценкой прозводной первого порядка решения при ограниченности самого решения. В настоящей работе на примере периодической задачи для рассматриваемой системы уравнений второго порядка установлено, что априорная оценка выводима, если сочетать методы исследования аналогичных систем уравнений первого порядка и методы качественного исследования сингулярно возмущенных систем уравнений. Полученные результаты в последующем можно обобщить для многомерных систем уравнений второго порядка, применяя идею метода направляющей функции.